微分形式
 | この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 (2015年9月) |
数学における微分形式（びぶんけいしき、英: differential form）とは、微分可能多様体上に定義される共変テンソル場である。微分形式によって多様体上の局所的な座標の取り方によらない関数の微分が表現され、また多様体の内在的な構造のみによる積分は微分形式に対して定義される。微分多様体上の微分形式は共変テンソルとしての座標変換性によって、あるいは接ベクトル空間上の線型形式の連続的な分布として定式化される。また、代数幾何学・数論幾何学や非可換幾何学などさまざまな幾何学の分野でそれぞれ、この類推として得られる微分形式の概念が定式化されている。
概要
エリ・カルタンによって微分方程式を幾何学的に捕らえようとする試みから生まれた微分形式は、解析学や幾何学のいろいろな概念や公式を統一的な視点からまとめ、形式的な計算により多くの結果を得、多様体などの図形を調べるのにも非常に強力な道具になっていった。
n 次元ユークリッド空間において、座標が (x1, x2, …, xn) で与えられているとき、n 変数関数 f(x1, x2, …, xn) を微分 0 形式といい、 余接ベクトル場 f1 dx1 + f2 dx2 + ⋯ + fn dxn の事を 微分 1 形式という。係数となっているfk は変数を省略してあるが関数である。これは関数の全微分で現れる式と同じである。2 次以上の微分形式は微分形式同士をテンソル積でかけ合わせることにより得られる。例えば p 次の微分形式 ξ と q 次の微分形式 η のテンソル積は
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