計量の逆行列と行列式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/20 09:58 UTC 版)
ボイヤー・リンキスト座標での座標基底を用いて、計量の逆行列（inverse metric）は g μ ν ∂ ∂ x μ ∂ ∂ x ν = − 1 Δ ( r 2 + a 2 + 2 a 2 M r sin 2 θ Σ ) ( ∂ ∂ t ) 2 − 2 a M r Σ Δ ∂ ∂ t ∂ ∂ ϕ + Δ Σ ( ∂ ∂ r ) 2 + 1 Σ ( ∂ ∂ θ ) 2 + 1 Δ sin 2 θ ( 1 − 2 M r Σ ) ( ∂ ∂ ϕ ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}g^{\mu \nu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}=&-{\frac {1}{\Delta }}\left(r^{2}+a^{2}+{\frac {2a^{2}Mr\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\right)\left({\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{2}-{\frac {2aMr}{\Sigma \Delta }}{\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\\&+{\frac {\Delta }{\Sigma }}\left({\frac {\partial }{\partial r}}\right)^{2}+{\frac {1}{\Sigma }}\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)^{2}+{\frac {1}{\Delta \sin ^{2}\theta }}\left(1-{\frac {2Mr}{\Sigma }}\right)\left({\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)^{2}\end{aligned}}} で与えられる。また、行列式は det ( g μ ν ) = − Σ 2 sin 2 θ {\displaystyle {\begin{aligned}\det(g_{\mu \nu })=-\Sigma ^{2}\sin ^{2}\theta \end{aligned}}} となる。
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