別々の導出
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/11/14 09:58 UTC 版)
上述の定義に従うと、ワイル-NPスカラーを計算する前に関連する四つ組を縮約して定義されるワイルテンソル（英語版）をみつけることができる。 この方法はしかし、ニューマン・ペンローズ形式（英語版）の考え方を完全に反映したものではない。それとは違い、まずスピン係数（英語版）を計算した上で五つのワイル-NPスカラーを次のニューマン・ペンローズ方程式（英語版）から導出することができる。 Ψ 0 = D σ − δ κ − ( ρ + ρ ¯ ) σ − ( 3 ε − ε ¯ ) σ + ( τ − π ¯ + α ¯ + 3 β ) κ , {\displaystyle \Psi _{0}=D\sigma -\delta \kappa -(\rho +{\bar {\rho }})\sigma -(3\varepsilon -{\bar {\varepsilon }})\sigma +(\tau -{\bar {\pi }}+{\bar {\alpha }}+3\beta )\kappa \,,} Ψ 1 = D β − δ ε − ( α + π ) σ − ( ρ ¯ − ε ¯ ) β + ( μ + γ ) κ + ( α ¯ − π ¯ ) ε , {\displaystyle \Psi _{1}=D\beta -\delta \varepsilon -(\alpha +\pi )\sigma -({\bar {\rho }}-{\bar {\varepsilon }})\beta +(\mu +\gamma )\kappa +({\bar {\alpha }}-{\bar {\pi }})\varepsilon \,,} Ψ 2 = δ ¯ τ − Δ ρ − ( ρ μ ¯ + σ λ ) + ( β ¯ − α − τ ¯ ) τ + ( γ + γ ¯ ) ρ + ν κ − 2 Λ , {\displaystyle \Psi _{2}={\bar {\delta }}\tau -\Delta \rho -(\rho {\bar {\mu }}+\sigma \lambda )+({\bar {\beta }}-\alpha -{\bar {\tau }})\tau +(\gamma +{\bar {\gamma }})\rho +\nu \kappa -2\Lambda \,,} Ψ 3 = δ ¯ γ − Δ α + ( ρ + ε ) ν − ( τ + β ) λ + ( γ ¯ − μ ¯ ) α + ( β ¯ − τ ¯ ) γ . {\displaystyle \Psi _{3}={\bar {\delta }}\gamma -\Delta \alpha +(\rho +\varepsilon )\nu -(\tau +\beta )\lambda +({\bar {\gamma }}-{\bar {\mu }})\alpha +({\bar {\beta }}-{\bar {\tau }})\gamma \,.} Ψ 4 = δ ν − Δ λ − ( μ + μ ¯ ) λ − ( 3 γ − γ ¯ ) λ + ( 3 α + β ¯ + π − τ ¯ ) ν . {\displaystyle \Psi _{4}=\delta \nu -\Delta \lambda -(\mu +{\bar {\mu }})\lambda -(3\gamma -{\bar {\gamma }})\lambda +(3\alpha +{\bar {\beta }}+\pi -{\bar {\tau }})\nu \,.} ここで Λ {\displaystyle \Lambda } （ Ψ 2 {\displaystyle \Psi _{2}} の導出に使われる）はニューマン・ペンローズの曲率スカラー Λ := R 24 {\displaystyle \Lambda :={\frac {R}{24}}} で、時空の計量 g a b {\displaystyle g_{ab}} から直接計算できる。
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