別な定式化と初等的な帰結
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/22 00:46 UTC 版)
「ベクトル空間」の記事における「別な定式化と初等的な帰結」の解説
ベクトルの加法やスカラー乗法は（二項演算の定義によって）閉性と呼ばれる性質を満たすものとなる（つまり V の各元 u, v および F の各元 a に対して u + v および av が必ず V に属する）。これをベクトル空間の公理に独立した条件として加えている文献もある。 抽象代数学の言葉で言えば、先の公理系の最初の四つは「ベクトルの全体が加法に関してアーベル群を成す」という条件にまとめられる。残りの条件は「この群が F 上の加群となる」という条件にまとめられる。あるいはこれを「体 F からベクトル全体の成す群の自己準同型環への環準同型 f が存在すること」と言い換えることもできる。この場合スカラー乗法は av := (f(a))(v) で定められる。 ベクトル空間の公理系から直接的に分かることがいくつかある。それらのうちのいくつかは初等群論をベクトル全体の成す加法群に適用することで得られる。例えば V の零ベクトル 0 や各元 v に加法逆元 −v が一意に存在することなどはそれである。その方法で得られない性質は分配法則から来るもので、例えば av = 0 ⇔ a = 0 または v = 0 などがそうである。
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