微積分学的な条件によって指定する
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/06 04:53 UTC 版)
「関数 (数学)」の記事における「微積分学的な条件によって指定する」の解説
適当な函数の原始函数としてたくさんの函数が定義できる。たとえば自然対数函数は逆数函数 1/x の原始函数で x = 1 における値が 0 となるものとして定義される。誤差函数 erf もこのような方法で定義される函数の例である。 より一般に、ほとんどの特殊函数を含めた多くの函数は微分方程式の解として定義される。もっとも単純な例として、指数函数はその微分が自分自身に等しいような函数のなかで x = 0 における値が 1 となる唯一の函数として定義することができる。 冪級数はその収束域を定義域として函数を定義することに利用できる。例えば指数函数は e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {x^{n}}{n!}}} と定義できる。しかし、冪級数の係数列は極めて任意に決めることができるから、「収束冪級数の和として書ける函数」は大抵既にどこか別の場所で定義されていたり、係数列もその別な定義に基づく何らかの計算できまるなどしているものである。冪級数はそのような函数の定義域を拡大することに利用できる。典型的には、実変数の函数が適当な区間上でテイラー級数の和と等しいとき、その級数を用いて直ちに適当な複素領域（つまり、級数の収束円板）上の複素変数函数に定義域を拡大することができる。これはさらに解析接続を用いて複素数平面上のさらに大きな領域へ拡大できる。この方法は、複素変数の指数函数・対数函数および三角函数の定義に一般的に用いられる方法である。
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