定義と計算
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/04 15:36 UTC 版)
R を環とし、ModR を R の上の加群の圏とする。B を ModR の対象とし、ModR の固定した対象 A に対し T(B) = HomR(A,B) とする。これは左完全関手であるので、右導来関手 RnT を持っている。Ext関手は、 Ext R n ( A , B ) = ( R n T ) ( B ) {\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=(R^{n}T)(B)} により定義される。これは入射分解 0 → B → I 0 → I 1 → … {\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow I^{0}\rightarrow I^{1}\rightarrow \dots } を適当にとり、 0 → Hom R ( A , I 0 ) → Hom R ( A , I 1 ) → … . {\displaystyle 0\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{0})\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{1})\rightarrow \dots .} を計算することにより得ることができる。従って、(RnT)(B) はこの複体のホモロジーである。HomR(A,B) は複体から除外されることに注意する。 もうひとつの別な定義は、関手 G(A)=HomR(A,B) を使って定義される。固定された加群 B に対し、これは反変な左完全関手であり、よって、右導来関手 RnG を持ち、 Ext R n ( A , B ) = ( R n G ) ( A ) {\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=(R^{n}G)(A)} を定義することができる。 Ext関手は、適当な射影分解 ⋯ → P 1 → P 0 → A → 0 , {\displaystyle \dots \rightarrow P^{1}\rightarrow P^{0}\rightarrow A\rightarrow 0,} を選択し、双対な計算 0 → Hom R ( P 0 , B ) → Hom R ( P 1 , B ) → … {\displaystyle 0\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(P^{0},B)\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(P^{1},B)\rightarrow \dots } を実行することによっても得られる。このとき、(RnG)(A) はこの複体のホモロジーである。再び、HomR(A,B) が複体から除外されることに注意する。 これらの 2つの構成は、同型となることが分かり、よって両方とも Ext関手の計算に使うことができる。
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定義と計算
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/28 07:05 UTC 版)
定義関数 atan2 は複素数 x + yi に偏角関数 arg を適用した時の主値を計算する。すなわち、atan2(y, x) = Pr arg(x + yi) = Arg(x + yi) である。偏角は、2π（原点を中心としたちょうど1周の回転に対応）の整数倍を加えたものも同じ角度になるが、atan2 を一意に定義するために範囲 ( − π , π ] {\displaystyle (-\pi ,\pi ]} の主値を使用する。つまり、−π < atan2(y, x) ≤ π とする。 標準の arctan 関数（値域 (−π/2, π/2)）を用いて、次のように表すことができる: atan2 ( y , x ) = { arctan ( y x ) if x > 0 , arctan ( y x ) + π if x < 0 and y ≥ 0 , arctan ( y x ) − π if x < 0 and y < 0 , + π 2 if x = 0 and y > 0 , − π 2 if x = 0 and y < 0 , undefined if x = 0 and y = 0. {\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\text{if }}x>0,\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0,\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y<0,\\+{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y>0,\\-{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y<0,\\{\text{undefined}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}} 重複する4つの半平面を用いたコンパクトな式: atan2 ( y , x ) = { arctan ( y x ) if x > 0 , π 2 − arctan ( x y ) if y > 0 , − π 2 − arctan ( x y ) if y < 0 , arctan ( y x ) ± π if x < 0 , undefined if x = 0 and y = 0. {\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\text{if }}x>0,\\{\frac {\pi }{2}}-\arctan \left({\frac {x}{y}}\right)&{\text{if }}y>0,\\-{\frac {\pi }{2}}-\arctan \left({\frac {x}{y}}\right)&{\text{if }}y<0,\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)\pm \pi &{\text{if }}x<0,\\{\text{undefined}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}} アイバーソンの記法を用いれば、さらにコンパクトな式が可能: atan2 ( y , x ) {\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)} = arctan ( y x ) [ x ≠ 0 ] + sgn ( y ) ( π [ x < 0 ] + π 2 [ x = 0 ] ) {\displaystyle =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)[x\neq 0]+\operatorname {sgn}(y)\left(\pi [x<0]+{\frac {\pi }{2}}[x=0]\right)} + undefined [ x = 0 ∧ y = 0 ] {\displaystyle +\;{\text{undefined}}\;\![x=0\wedge y=0]} 一見すると条件式のない数式: atan2 ( y , x ) = sgn ( x ) 2 arctan ( y x ) + 1 − sgn ( x ) 2 ( 1 + sgn ( y ) − sgn ( y ) 2 ) π {\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)=\operatorname {sgn}(x)^{2}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+{\frac {1-\operatorname {sgn}(x)}{2}}\left(1+\operatorname {sgn}(y)-\operatorname {sgn}(y)^{2}\right)\pi } タンジェントの半角の公式から派生した次の式で atan2 を定義することもできる: atan2 ( y , x ) = { 2 arctan ( y x 2 + y 2 + x ) if x > 0 or y ≠ 0 , π if x < 0 and y = 0 , undefined if x = 0 and y = 0. {\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}2\arctan \left({\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}\right)&{\text{if }}x>0{\text{ or }}y\neq 0,\\\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y=0,\\{\text{undefined}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}} この式は、上記の定義よりもシンボリックな使用に適している場合がある。ただし、 x 2 + y 2 {\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}} の丸め誤差の影響が領域 x < 0, y = 0 の近くで拡大するため、一般的な浮動小数点数の計算用途には適していない（これにより、yがゼロで除算されることもある）。 これらの膨らんだ丸め誤差を回避するため、先ほどの式を変形: atan2 ( y , x ) = { 2 arctan ( y x 2 + y 2 + x ) if x > 0 , 2 arctan ( x 2 + y 2 − x y ) if x ≤ 0 and y ≠ 0 , π if x < 0 and y = 0 , undefined if x = 0 and y = 0. {\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}2\arctan \left({\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}\right)&{\text{if }}x>0,\\2\arctan \left({\frac {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-x}{y}}\right)&{\text{if }}x\leq 0{\text{ and }}y\neq 0,\\\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y=0,\\{\text{undefined}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}} 注意: これにより、範囲 (−π, π] の結果が生成される。 上記のように、偏角の主値 atan2(y, x) は、三角法によって arctan(y/x) に関連付けることができる。 導出は次のようになる: (x, y) = (r cos θ, r sin θ) のとき tan(θ/2) = y / (r + x) となる。その結果、次式が成立する。 atan2 ( y , x ) = θ = 2 θ / 2 = 2 arctan y x 2 + y 2 + x . {\displaystyle {\text{atan2}}(y,x)=\theta =2\,\theta /2=2\arctan {\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}.} 問題の領域は √x2 + y2 + x ≠ 0 であることに注意。
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