定義と表記

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定義と表記

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/07/09 18:36 UTC 版)

「安永浩」の記事における「定義と表記」の解説

イギリスの哲学者、ウォーコップ (Oswald Stewart Wauchope、1897 - 1956) による『パターン』概念を基礎とする。 体験世界を記述する際に用いるカテゴリーの対（つい）、例えば自／他、生／死、全体／部分、質／量、時間／空間などについては、 ある一方の項だけでは対が成り立たず、両方の項があってこそ成り立つ、という相対的な不可欠性 ある項Aは公理的、自明のものであって、ほかに根拠を求めることはできない。Aから議論を出発するならば、もう一方の項BはAではないものとして理解しうる。しかしA、Bの順序を逆にすることはできない。という、論理的な非対称性 といった特徴がある。こうしたカテゴリー対を『パターン』とし、優位性があるほうの項をA、他方をBとして A／B のように表記する。なお「パターン」という単語は日常的にも使われるので、この定義により用いる際は二重カギ括弧で括って“『パターン』”と表記する。 自／他を例にする。他とは、ごく単純には「自でないもの」と言える（定義としては不十分かもしれないが、少なくとも意味は通じる）。一方、自を定義するのは容易でない。にもかかわらずわれわれは、文字どおり自明のこととして体験的に自を理解している。これを、自・他を入れ替えて語ることはできない。「他ではないもの」という表現は、自の定義にはならず、そもそも不可知的である（以上を、『パターン』には該当しないカテゴリー対、例えば右・左や男・女と比べてみよ。）

定義と表記

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/12/07 07:15 UTC 版)

「群同型」の記事における「定義と表記」の解説

2つの群 (G, ∗) と (H, ⊙ ) が与えられたとき、(G, ∗) から (H, ⊙ ) への群同型写像 (group isomorphism) はG から H への全単射群準同型である。説明すると、これが意味するのは、群同型写像は全単射関数 f : G → H であってすべての u, v ∈ G に対して f ( u ∗ v ) = f ( u ) ⊙ f ( v ) が成り立つということである。 2つの群 (G, ∗) と (H, ⊙ ) が同型 (isomorphic) であるとは、一方から他方への同型写像が存在するということである。これは ( G , ∗ ) ≅ ( H , ⊙ ) と書かれる。 しばしば短く簡潔な表記を用いることができる。適切な群演算があいまいでないときそれらは省略され G ≅ H と書く。 さらにシンプルに G = H と書くことさえある。そのような表記が混乱や曖昧さなく可能であるかどうかは文脈に依る。例えば、等号は群が両方同じ群の部分群であるときには全く適切でない。例も参照。 逆に、群 (G, ∗)、集合 H、全単射 f : G → H が与えられると、 f ( u ) ⊙ f ( v ) = f ( u ∗ v ) と定義することによって H を群 (H, ⊙ ) にできる。 H = G かつ ⊙ = ∗ であれば、全単射は同型である (q.v.)。 直感的には、群論家は 2 つの同型な群を次のように見る： 群 G のすべての元 g に対して、H のある元 h が存在して、h は g と'同じように振る舞う'（g と同じように群の他の元と演算する）。例えば、g が G を生成すれば、h も H を生成する。これは特に G と H が全単射対応にあることを意味する。したがって、同型写像の定義は極めて自然である。 群の同型写像は群の圏における可逆射としても同等に定義できる。ただしここで可逆は両側逆元を持つことを意味する。