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利得関数

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利得関数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/06/10 17:01 UTC 版)

ゲーム理論」の記事における「利得関数」の解説

ゲーム重要な構成要素である利得関数(英: payoff function)は戦略集合直積定義域とする実数値関数 f i : × k ∈ N S k → R {\displaystyle f_{i}\colon \times _{k\in N}S_{k}\to \mathbb {R} } として定義される一般に利得関数はプレイヤーごとに異なるため、 n 人ゲームでは n 個の利得関数の組 { f i } i ∈ N {\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in N}} を定義する必要がある。利得関数の値である利得(英: payoffs)とは各プレイヤー実行した戦略によって決定されゲーム結果対す評価値であり、したがって、利得関数は効用関数評価関数損失関数などと呼ぶこともある。ただし、ゲーム理論における利得関数は、従来価格理論における効用関数とは異なり定義域自分選択した戦略だけでなく他のプレイヤー選択した戦略含まれる。これは意思決定相互依存状況重視するゲーム理論本質的な側面反映している。 社会科学では、利得とは通常企業利潤(英: profit)や個人効用(英: utility)に該当する他方生物学文脈では、利得とは個体適応度(英: fitness)に該当し生存する子孫個体数期待値意味するゲームには偶然の要素がしばしば加わり、また相手行動予測困難な場合も多いため、リスク不確実性の下での意思決定基準たり得る利得関数を考え必要があるこのような要請応える理論的枠組みとして、フォン・ノイマンモルゲンシュテルンによる期待効用理論があり、ゲーム理論においても多く応用されている。彼らによって考案され期待利得関数(英: expected utility function)は混合拡大(英: mixed extension)された戦略集合直積集合 Q := × k ∈ N Q k {\displaystyle Q:=\times _{k\in N}Q_{k}} 上の実数値関数であり、プレイヤーiの期待利得関数 FiF i ( q 1 , . . . , q n ) := ∏ j ∈ N ∑ s jS j { ∏ k ∈ N q k ( s k ) } f i ( s 1 , . . . , s n ) {\displaystyle F_{i}(q_{1},...,q_{n}):=\prod _{j\in N}\sum _{s_{j}\in S_{j}}\left\{\prod _{k\in N}q_{k}(s_{k})\right\}f_{i}(s_{1},...,s_{n})} と定義される。 なお、戦略形ゲームにおいてはプレイヤー選択した戦略の組がゲーム帰結を表すのに対して展開形ゲームにおいてはゲームの木(英: game tree)を構成する頂点(英: terminal nodes)がゲーム帰結相当する。そのため、展開形ゲームでは頂点集合定義域とする実数値関数として利得関数が定義される非協力ゲームにおいては、各プレイヤーすべてのプレイヤーの利得関数を知っているかどうか分析において大きな問題であり、あらかじめ知っている場合経験によって次第に知る場合何らかの推定値として知っている場合など、さまざまな場合仮定される

※この「利得関数」の解説は、「ゲーム理論」の解説の一部です。
「利得関数」を含む「ゲーム理論」の記事については、「ゲーム理論」の概要を参照ください。

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