正の断面曲率を持つ多様体
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/20 17:12 UTC 版)
「断面曲率」の記事における「正の断面曲率を持つ多様体」の解説
正の曲がった多様体の構造については少ししか知られていない。ソウル定理（英語版）(soul theorem)(Cheeger & Gromoll 1972; Gromoll & Meyer 1969) は、完備な非コンパクトな非負の曲がった多様体は、コンパクトな非負な曲がった多様体上の法バンドルに微分同相であるという定理である。コンパクトな正の曲がった多様体に対し、2つの古典的な結果が知られている。 メイヤーの定理（英語版）(Myers theorem)から、そのような多様体の基本群は有限群であることが導かれる。 シンゲの定理（英語版）(Synge theorem)から、そのような偶数次元の多様体の基本群は、向きつけ可能であれば、0 であり、そうでない場合は Z 2 {\displaystyle {\mathbb {Z}}_{2}} となることが導かれる。奇数次元の正の曲がった多様体は常に向き付け可能である。 さらに、コンパクトな正の曲がった多様体には、予想は多くあるものの（たとえば、ホップ予想（英語版）(Hopf conjecture)は、 S 2 × S 2 {\displaystyle {\mathbb {S}}^{2}\times {\mathbb {S}}^{2}} の上には正の断面曲率である計量は存在するかについての予想がある）、比較的少ししか例が存在しない。新しい例を構成するもっと典型的な方法は、次のオーニール曲率から出てくる系に従う。 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} がリー群 G の自由な等長作用を持つリーマン多様体とし、M を G の軌道に直交する 2-平面すべての上で正の断面曲率を持つとすると、商計量をもつ多様体 M / G {\displaystyle M/G} は正の断面曲率を持つ。この事実は、上記の例と同じ、球面や射影空間である古典的は正の曲がった空kなを構成することを可能とする(Ziller 2007)。 ベルジェ空間(The Berger spaces) B 7 = S O ( 5 ) / S O ( 3 ) {\displaystyle B^{7}=SO(5)/SO(3)} and B 13 = S U ( 5 ) / S p ( 2 ) ⋅ S 1 {\displaystyle B^{13}=SU(5)/Sp(2)\cdot {\mathbb {S}}^{1}} . ウォリッシュ空間(Wallach spaces)（あるいは、等質旗多様体） W 6 = S U ( 3 ) / T 2 {\displaystyle W^{6}=SU(3)/T^{2}} , W 12 = S p ( 3 ) / S p ( 1 ) 3 {\displaystyle W^{12}=Sp(3)/Sp(1)^{3}} と W 24 = F 4 / S p i n ( 8 ) {\displaystyle W^{24}=F_{4}/Spin(8)} . アロフ・ウォリッシュ空間(Aloff–Wallach spaces) W p , q 7 = S U ( 3 ) / diag ( z p , z q , z ¯ p + q ) {\displaystyle W_{p,q}^{7}=SU(3)/\operatorname {diag} (z^{p},z^{q},{\overline {z}}^{p+q})} . エッシェンブルグ空間(Eschenburg spaces) E k , l = diag ( z k 1 , z k 2 , z k 3 ) ∖ S U ( 3 ) / diag ( z l 1 , z l 2 , z l 3 ) − 1 . {\displaystyle E_{k,l}=\operatorname {diag} (z^{k_{1}},z^{k_{2}},z^{k_{3}})\backslash SU(3)/\operatorname {diag} (z^{l_{1}},z^{l_{2}},z^{l_{3}})^{-1}.} バザイキン空間(Bazaikin spaces) B p 13 = diag ( z 1 p 1 , … , z 1 p 5 ) ∖ U ( 5 ) / diag ( z 2 A , 1 ) − 1 {\displaystyle B_{p}^{13}=\operatorname {diag} (z_{1}^{p_{1}},\dots ,z_{1}^{p_{5}})\backslash U(5)/\operatorname {diag} (z_{2}A,1)^{-1}} , ここに A ∈ S p ( 2 ) ⊂ S U ( 4 ) {\displaystyle A\in Sp(2)\subset SU(4)} である。
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