フォワード測度

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フォワード測度

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/11/14 09:19 UTC 版)

フォワード測度（フォワードそくど、英: forward measure）とは、数理ファイナンスにおいて、リスク中立測度と絶対連続である価格付けの測度である。しかし、ニュメレールとしてマネーマーケットアカウントを使わず、満期が T である債券が用いられている（特に満期を明示して T–フォワード測度と言う事も多い）。フォワード測度の利用はファルシド・ジャムシディアンにより1987年に始められ、債券オプションの価格計算の方法として用いられている。

数学的定義

以下の記述はMusiela and Rutkowski & (2004)に基づく。

まずニュメレールとしての銀行口座、もしくはマネーマーケットアカウントを以下のように定義する。

$B(T)=\exp \left(\int _{0}^{T}r(u)\,du\right)$

更に時点0から満期 T までの割引ファクターを以下のように定義する。

$D(T)=1/B(T)=\exp \left(-\int _{0}^{T}r(u)\,du\right)$

もし $Q_{*}$ がリスク中立測度ならば、フォワード測度 $Q_{T}$ はラドン–ニコディム微分として以下のように与えられる。

${\frac {dQ_{T}}{dQ_{*}}}={\frac {1}{B(T)E_{Q_{*}}[1/B(T)]}}={\frac {D(T)}{E_{Q_{*}}[D(T)]}}.$

上の式は利子率が非確率的ならばフォワード測度とリスク中立測度は一致することを意味している。また、ニュメレールを銀行口座もしくはマネーマーケットアカウント B(t) から満期 T の債券 P(t,T) に変えた際のニュメレール変換公式の一つでもある。実際、時点 t における満期 T のゼロクーポン債価格が

$P(t,T)=E_{Q_{*}}\left[{\frac {B(t)}{B(T)}}|{\mathcal {F}}(t)\right]=E_{Q_{*}}\left[{\frac {D(T)}{D(t)}}|{\mathcal {F}}(t)\right]$

と書けるならば（ ${\mathcal {F}}(t)$ は時点 t における市場の情報を表すフィルトレーションである）、

${\frac {dQ_{T}}{dQ_{*}}}={\frac {B(0)P(T,T)}{B(T)P(0,T)}}$

と書ける。この式より、T–フォワード測度はニュメレールとしての満期 T のゼロクーポン債と関連していることが明確になる。 より詳細な議論についてはBrigo and Mercurio & (2006)を参照せよ。

結果

"フォワード測度"の名前は、フォワード測度の下で先渡価格がマルチンゲールとなることに由来している。この事実は、フォワード測度を正式に定義したとされる、German & (1989) によって最初に見出された。リスク中立測度の下でマルチンゲールとなる先物価格と比べると、利子率が非確率的であるならば、フォワード測度は先渡価格と先物価格は一致する事を意味している。

例えば、割引株式価格はリスク中立測度の下でマルチンゲールである。

$S(t)D(t)=E_{Q_{*}}[D(T)S(T)|{\mathcal {F}}(t)].\,$

先渡価格は $F_{S}(t,T)={\frac {S(t)}{P(t,T)}}$ で与えられる。よって $F_{S}(T,T)=S(T)$ が得られる。ラドン–ニコディム微分 ${\frac {dQ_{T}}{dQ_{*}}}$ と等式 $F_{S}(T,T)=S(T)$ を用いれば

$F_{S}(t,T)={\frac {E_{Q_{*}}[D(T)S(T)|{\mathcal {F}}(t)]}{D(t)P(t,T)}}=E_{Q_{T}}[F_{S}(T,T)|{\mathcal {F}}(t)]{\frac {E_{Q_{*}}[D(T)|{\mathcal {F}}(t)]}{D(t)P(t,T)}}$

となる。最後の項は債券価格の定義より1と等しいので以下が得られる。

$F_{S}(t,T)=E_{Q_{T}}[F_{S}(T,T)|{\mathcal {F}}(t)].\,$

参考文献

• Brigo, Damiano; Mercurio, Fabio (2006), Interest Rate Models — Theory and Practice with Smile, Inflation and Credit (2 ed.), Springer Verlag, ISBN 978-3-540-22149-4 
• Musiela, Marek; Rutkowski, Marek (2004), Martingale Methods in Financial Modelling (2 ed.), New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/b137866, ISBN 978-3-540-20966-9 

関連項目

• リスク中立測度
• 先渡価格