平均収束
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/15 14:46 UTC 版)
ある r ≥ 1 に対し、列 (Xn) が X へと r次平均収束（あるいは、Lr-ノルムについて収束）するとは、(Xn) および X の r次絶対積率が存在し、かつ lim n → ∞ E ( | X n − X | r ) = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {E} \left(|X_{n}-X|^{r}\right)=0} が成り立つことである。ここで作用素 E は期待値を表す。r次平均収束は、(Xn) と X の差の r次のべきの期待値が 0 へと収束することを意味する。 この種の収束はしばしば、収束を表す矢の上に記号 Lr を付け加えることで表現される： X n → L r X . {\displaystyle X_{n}\,{\xrightarrow {L^{r}}}\,X.} r次平均収束に関して重要なケースを下に挙げる： r = 1 について Xn が X へと r次平均収束するとき、Xn は X へ平均収束すると言われる。 r = 2 について Xn が X へと r次平均収束するとき、Xn は X へ二乗平均収束すると言う。この収束はまた次のように記述されることもある： l . i . m . n → ∞ X n = X . {\displaystyle {\underset {n\to \infty }{\operatorname {l.i.m.} }}X_{n}=X.} r > 1 に関する r次平均収束は、（マルコフの不等式により）確率収束を意味する。また、r > s ≥ 1 である時、r次平均収束は s次平均収束を意味する。このことから、二乗平均収束は平均収束を意味することが分かる。
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