p が 2 の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/01/08 16:07 UTC 版)
p = 2 のソボレフ空間はヒルベルト空間を成しフーリエ級数と関係することから特に重要で、Hk (= Wk,2) という記法が用いられる。 空間 Hk は係数が十分急減少であるようなフーリエ級数を用いて自然に定義できる。つまり H k ( T ) = { f ∈ L 2 ( T ) : ∑ n = − ∞ ∞ ( 1 + n 2 + n 4 + ⋯ + n 2 k ) | f ^ ( n ) | 2 < ∞ } {\displaystyle H^{k}({\mathbb {T} })=\left\{f\in L^{2}({\mathbb {T} }):\sum _{n=-\infty }^{\infty }(1+n^{2}+n^{4}+\dotsb +n^{2k})|{\hat {f}}(n)|^{2}<\infty \right\}} が成立する。ここで f^ は f のフーリエ級数である。上述の如く、同値なノルムとして ‖ f ‖ 2 := ∑ n = − ∞ ∞ ( 1 + | n | 2 ) k | f ^ ( n ) | 2 {\displaystyle \|f\|^{2}:=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(1+|n|^{2})^{k}\,|{\hat {f}}(n)|^{2}} を用いることができる。いずれの表現も、微分が in をフーリエ係数に掛けることに同値である事実とパーセバルの定理から簡単に従う。 さらに空間 Hk には H0 = L2 と同様の内積を入れることができる。実際、Hk-内積は L2-内積を用いて ⟨ u , v ⟩ H k := ∑ i = 0 k ⟨ D i u , D i v ⟩ L 2 {\displaystyle \langle u,v\rangle _{H^{k}}:=\sum _{i=0}^{k}\langle D^{i}u,D^{i}v\rangle _{L^{2}}} と定義される。空間 Hk はこの内積に関してヒルベルト空間となる。
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p が 2 の場合
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フーリエ展開の記述をそのまま一般化できるから p = 2 の場合が最も簡単である。ノルムは ‖ f ‖ s , 2 2 := ∑ ( 1 + n 2 ) s | f ^ ( n ) | 2 {\displaystyle \|f\|_{s,2}^{2}:=\sum (1+n^{2})^{s}|{\hat {f}}(n)|^{2}} で定義され、ソボレフ空間 Hs はノルムが有限な函数全体の空間として定まる。
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