谷山・志村予想の内容
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谷山・志村予想とは、任意の Q 上の楕円曲線は、ある整数 N に対する古典的モジュラー曲線（英語版）(classical modular curve) X 0 ( N ) {\displaystyle X_{0}(N)\ } からの整数係数を持つ有理写像（英語版）(rational map)を通して得ることができる。この曲線には明示的に定義が与えられ、整数係数を持つ。Level N のモジュラのパラメタ表示と呼ばれる。N がそのようなパラメタ表示の中で最小の整数（モジュラリティ定理自体により、導手という数値として知られる）であれば、このパラメタ表示は、Weight 2 とLevel N の特殊なモジュラ形式、すなわち、（必要であれば同種に従い）正規化された 整数のq-展開をもつ新形式（英語版）(newform)の生成する写像として、定義される。 モジュラリティ定理は、次の解析的なステートメントと密接に関連する。Q 上の楕円曲線 E に楕円曲線のL-函数を対応させる。このL-函数は、ディリクレ級数であり、 L ( s , E ) = ∑ n = 1 ∞ a n n s {\displaystyle L(s,E)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}} と表すことができる。 従って、係数 a n {\displaystyle a_{n}} の母函数は、 f ( q , E ) = ∑ n = 1 ∞ a n q n {\displaystyle f(q,E)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}q^{n}} である。 q = e 2 π i τ {\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }\ } を代入すると、複素変数 τ の函数 f ( τ , E ) {\displaystyle f(\tau ,E)} のフーリエ展開の形に書くことができ、従って、q-展開の係数は f {\displaystyle f} のフーリエと考えることができる。この方法で得られた函数は、注目すべきことに、ウェイト 2 でレベル N のカスプ形式であり、（モジュラ形式でもあるので）ヘッケ作用素の固有ベクトルとなっている。これがハッセ・ヴェイユ予想(Hasse–Weil conjecture)であり、モジュラリティ定理より従うこととなる。 逆に、ウェイト 2 のモジュラ形式は、楕円曲線の正則微分（英語版）(holomorphic differential)に対応する。モジュラ曲線のヤコビ多様体は、同種を同一視すると、ウェイト 2 のヘッケ固有形式に対応する既約アーベル多様体の積として書くことができる。1-次元要素は楕円曲線である。（高次元要素も存在し、すべてではないが、ヘッケ固有形式が有理楕円曲線へ対応する。）曲線は、対応するカスプ形式より得られるので、この方法で構成された曲線は、元々の曲線と同種である（一般には同型にはならない）。
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谷山志村予想（モジュラリティ定理）の内容
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谷山志村予想（モジュラリティ定理）とは、任意の Q 上の楕円曲線は、ある整数 N に対する古典的モジュラー曲線（英語版）(classical modular curve) からの整数係数を持つ有理写像（英語版）(rational map)を通して得ることができる。この曲線は整数係数を持ち、明確に表すことができる。レベル N のモジュラパラメータと呼ばれる。N がそのようなパラメータの中の最小の整数（モジュラリティ定理自体により、導手として呼んでいる数値であることが知られている）であれば、ウェイト 2 とレベル N の特別な場合のモジュラ形式で、楕円曲線の同種に従い正規化された q-展開をもつ新形式（英語版）(newform)の生成する写像として、この写像が定義される。 モジュラリティ定理は、次の解析的なステートメントと密接に関連する。Q 上の楕円曲線 E に楕円曲線のL-函数を対応させる。このL-函数は、ディリクレ級数であり、 と表すことができる。 従って、係数 の母函数は、 を代入すると、複素変数 τ の函数 のフーリエ展開の形に書くことができ、従って、q-展開の係数は のフーリエと考えることができる。この方法で得られた函数は、注目すべきことに、ウェイト 2 でレベル N のカスプ形式であり、（モジュラ形式でもあるので）ヘッケ作用素の固有ベクトルとなっている。これがハッセ・ヴェイユ予想(Hasse–Weil conjecture)であり、モジュラリティ定理より従うこととなる。 逆に、ウェイト 2 のモジュラ形式は、楕円曲線の正則微分（英語版）(holomorphic differential)に対応する。モジュラ曲線のヤコビ多様体は、同種を同一視すると、ウェイト 2 のヘッケ固有形式に対応する既約アーベル多様体の積として書くことができる。1-次元要素は楕円曲線である。（高次元要素も存在し、すべてではないが、ヘッケ固有形式が有理楕円曲線へ対応する。）曲線は、対応するカスプ形式より得られるので、この方法で構成された曲線は、元々の曲線と同種である（一般には同型にはならない）。
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