ヒルベルト変換表
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/21 00:43 UTC 版)
次の表では、周波数パラメータ ω {\displaystyle \omega } は実数である。 信号 u ( t ) {\displaystyle u(t)} ヒルベルト変換 H ( u ) ( t ) {\displaystyle H(u)(t)} 正弦 sin ( ω t ) {\displaystyle \sin(\omega t)} sgn ( ω ) sin ( ω t − π 2 ) = − sgn ( ω ) cos ( ω t ) {\displaystyle \operatorname {sgn}(\omega )\sin \left(\omega t-{\tfrac {\pi }{2}}\right)=-\operatorname {sgn}(\omega )\cos(\omega t)} 余弦 cos ( ω t ) {\displaystyle \cos(\omega t)} sgn ( ω ) cos ( ω t − π 2 ) = sgn ( ω ) sin ( ω t ) {\displaystyle \operatorname {sgn}(\omega )\cos \left(\omega t-{\tfrac {\pi }{2}}\right)=\operatorname {sgn}(\omega )\sin(\omega t)} e i ω t {\displaystyle e^{i\omega t}} sgn ( ω ) e i ( ω t − π 2 ) = − i ⋅ sgn ( ω ) e i ω t {\displaystyle \operatorname {sgn}(\omega )e^{i\left(\omega t-{\tfrac {\pi }{2}}\right)}=-i\cdot \operatorname {sgn}(\omega )e^{i\omega t}} 1 t 2 + 1 {\displaystyle 1 \over t^{2}+1} t t 2 + 1 {\displaystyle t \over t^{2}+1} e − t 2 {\displaystyle e^{-t^{2}}} 2 π − 1 / 2 F ( t ) {\displaystyle 2\pi ^{-1/2}F(t)} (ドーソン積分を参照) sinc関数 sin ( t ) t {\displaystyle \sin(t) \over t} 1 − cos ( t ) t {\displaystyle 1-\cos(t) \over t} 矩形関数 ⊓ ( t ) {\displaystyle \sqcap (t)} 1 π ln | t + 1 2 t − 1 2 | {\displaystyle {1 \over \pi }\ln \left\vert {t+{1 \over 2} \over t-{1 \over 2}}\right\vert } ディラックのデルタ関数 δ ( t ) {\displaystyle \delta (t)} 1 π t {\displaystyle 1 \over \pi t} 特性関数 χ [ a , b ] ( t ) {\displaystyle \chi _{[a,b]}(t)} 1 π ln | t − a t − b | {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\ln \left\vert {\frac {t-a}{t-b}}\right\vert } Note ^ 文献によっては（例えば Bracewell[要文献特定詳細情報]）、本項で言うと −H にあたるものをヒルベルト順変換の定義とするものもある。その場合には、一覧表の右列はすべて符号が逆になる。 ^ a b sin と cos のヒルベルト変換は無限遠点において積分の主値をとることで定義することができる（シュヴァルツ超函数の意味で定義したものとも一致する）。 幅広いヒルベルト変換の一覧表が利用可能 (King 2009b). 定数のヒルベルト変換は 0 となることに注意。
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