分類空間や群コホモロジーとの関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/30 08:01 UTC 版)
「被覆空間」の記事における「分類空間や群コホモロジーとの関係」の解説
X を任意の n ≥ 2 に対するホモトピー群 πn(X) = 0 と持つ連結な胞体複体（英語版）(cell complex)とすると、X の普遍被覆空間 T は次のようにホワイトヘッドの定理（英語版）(Whitehead theorem)を適用すると、可縮であることが分かる。この場合に X は分類空間であり、G = π1(X) に対し K(G, 1) である。 さらに、すべての n ≥ 0 に対し、胞体 n-鎖体 Cn(T) （つまり、n-胞体により T の中に与えられる基底をもつ自由アーベル群）は、自然に ZG-加群構造をも持つ。ここに T の n-胞体 σ と G の元 g に対し、胞体 gσ は、正確に g に対応する T の被覆変化による σ の変換に一致する。さらに、Cn(T) は、T の n-胞対の G-軌道の表現による自由 ZG-基底をもつ自由 ZG-加群である。この場合は、ε をアーギュメント写像（英語版）(augmentation map)として、標準的なトポロジカルな鎖複体 ⋯ → ∂ C n ( T ) → ∂ C n − 1 ( T ) → ∂ ⋯ → ∂ C 0 ( T ) → ε Z {\displaystyle \cdots {\overset {\partial }{\to }}C_{n}(T){\overset {\partial }{\to }}C_{n-1}(T){\overset {\partial }{\to }}\cdots {\overset {\partial }{\to }}C_{0}(T){\overset {\varepsilon }{\to }}\mathbf {Z} } は、Z の自由 ZG-分解(free ZG-resolution)である（ここの Z は、自明な ZG-加群構造を持ち、すべての g ∈ G とすべての m ∈ Z に対し gm = m となる）。この分解は任意の係数を持つ G の群コホモロジー(group cohomology)の計算に使うことができる。 群の分解を計算したりホモロジー代数の別の計算をするグラハム・エリス(Graham Ellis)の方法は、J. Symbolic Comp. の彼の論文や以下にあげるウェブページに示されているように、普遍被覆の収縮するホモトピーとして、同時に帰納的に K(G) の普遍被覆を構成する方法である。この後者が、計算可能な方法を与えている。
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