クリフォード代数の構造
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/05 19:43 UTC 版)
「クリフォード代数」の記事における「クリフォード代数の構造」の解説
このセクションにおいてベクトル空間 V の次元は有限であり Q の双線型形式は非特異であると仮定する。K 上の中心単純代数は中心が K の（有限次元）可除代数上の行列代数である。例えば、実数体上の中心単純代数は実数体あるいは四元数体上の行列代数である。 V の次元が偶数であれば Cℓ(V, Q) は K 上の中心単純代数である。 V の次元が偶数であれば Cℓ0(V, Q) は K の二次拡大上の中心単純代数であるかまたは K 上の 2 つの同型な中心単純代数の和である。 V の次元が奇数であれば Cℓ(V, Q) は K の二次拡大上の中心単純代数であるかまたは K 上の 2 つの同型な中心単純代数の和である。 V の次元が奇数であれば Cℓ0(V, Q) は K 上の中心単純代数である。 クリフォード代数の構造は以下の結果を用いて明示的に解明できる。U の次元は偶数で判別式 d の非特異双線型形式を持っているとし、V は二次形式を持った別の空間とする。U + V のクリフォード代数は U と (−1)dim(U)/2dV のクリフォード代数のテンソル積に同型で、後者はその二次形式に (−1)dim(U)/2d を掛けた空間 V である。実数体上これは特に次を意味する C ℓ p + 2 , q ( R ) = M 2 ( R ) ⊗ C ℓ q , p ( R ) {\displaystyle C\ell _{p+2,q}(\mathbf {R} )=M_{2}(\mathbf {R} )\otimes C\ell _{q,p}(\mathbf {R} )} C ℓ p + 1 , q + 1 ( R ) = M 2 ( R ) ⊗ C ℓ p , q ( R ) {\displaystyle C\ell _{p+1,q+1}(\mathbf {R} )=M_{2}(\mathbf {R} )\otimes C\ell _{p,q}(\mathbf {R} )} C ℓ p , q + 2 ( R ) = H ⊗ C ℓ q , p ( R ) . {\displaystyle C\ell _{p,q+2}(\mathbf {R} )=\mathbf {H} \otimes C\ell _{q,p}(\mathbf {R} ).} これらの公式をすべての実クリフォード代数とすべての複素クリフォード代数の構造を見つけるために使うことができる。クリフォード代数の分類（英語版）を見よ。 とりわけ、クリフォード代数の森田同値類（その表現論： それ上の加群の圏の同値類）は符号 (p − q) mod 8 のみに依っている。これはボットの周期性（英語版）の代数的な形である。
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