導入と基本的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/05 19:43 UTC 版)
「クリフォード代数」の記事における「導入と基本的性質」の解説
クリフォード代数は二次形式 Q を伴った体 K 上のベクトル空間 V を含みそれによって生成される単位的結合多元環である。クリフォード代数 Cℓ(V, Q) は次の条件を満たす V によって生成される「最も自由な」代数である： v 2 = Q ( v ) 1 ( ∀ v ∈ V ) , {\displaystyle v^{2}=Q(v)1\quad (\forall v\in V),} ただし左辺の積は代数の積であり、1 は乗法単位元である。 クリフォード代数の定義は「裸の」(bare) K-代数よりも多くの構造をそれに与える： 特にそれは V に同型な特定された、あるいは特別に選ばれた部分空間を持つ。そのような部分空間はクリフォード代数に同型な K-代数のみが与えられても一般には一意的には決定できない。 基礎体 K の標数が 2 でなければ、この基本関係式を次の形に書き直すことができる： u v + v u = 2 ⟨ u , v ⟩ 1 ( ∀ u , v ∈ V ) , {\displaystyle uv+vu=2\langle u,v\rangle 1\quad (\forall u,v\in V),} ただし ⟨ u , v ⟩ = 1 2 ( Q ( u + v ) − Q ( u ) − Q ( v ) ) {\displaystyle \langle u,v\rangle ={\frac {1}{2}}(Q(u+v)-Q(u)-Q(v))} は分極公式（英語版）によって Q と結びついた対称双線型形式である。この関係式を満たす「最も自由な」 (freest) あるいは「最も一般」 (most general) な代数であることのアイデアは普遍性の概念を通じて下記でされるように正式に表現できる。 標数 2 において二次形式とクリフォード代数は例外的なケースをなす。特に、char(K) = 2 であれば、二次形式は対称双線型形式を決定すること、あるいはすべての二次形式は直交基底を持つことは正しくない。この記事のステートメントの多くは標数が 2 でないという条件を含み、条件が除かれると誤りである。
※この「導入と基本的性質」の解説は、「クリフォード代数」の解説の一部です。
「導入と基本的性質」を含む「クリフォード代数」の記事については、「クリフォード代数」の概要を参照ください。
- 導入と基本的性質のページへのリンク
