反自己同型写像
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/09/06 10:18 UTC 版)
自己同型 α に加えて、クリフォード代数の解析において重要な役割を果たす 2 つの反自己同型（英語版）が存在する。テンソル代数 T(V) はすべての積の順序を逆にする反自己同型とともに来ることを思い出そう： v 1 ⊗ v 2 ⊗ ⋯ ⊗ v k ↦ v k ⊗ ⋯ ⊗ v 2 ⊗ v 1 . {\displaystyle v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{k}\mapsto v_{k}\otimes \cdots \otimes v_{2}\otimes v_{1}.} イデアル IQ はこの反転の下で不変なので、この演算は Cℓ(V, Q) の反自己同型に降り、転置 (transpose) あるいは反転 (reversal) 演算と呼ばれ、tx によって表記される。この反転は反自己同型である： t(xy) = ty tx。転置演算は Z2-次数付けを全く使わないので2つ目の反自己同型を α と転置を合成することによって定義する。この演算をクリフォード共役 (Clifford conjugation) と呼び x と表記する x ¯ = α ( t x ) = t ( α ( x ) ) . {\displaystyle {\bar {x}}=\alpha (^{t}\!x)={}^{t}\!(\alpha (x)).} 2 つの反自己同型のうち転置はより基本的である。 これらの演算は全て対合であることに注意しよう。それらは Z-次数付けにおいて pure な元上 ±1 として作用することを示すことができる。実際、すべての 3 つの演算は次数 modulo 4 にしか依らない。つまり、x が pure で次数 k であれば、 α ( x ) = ± x t x = ± x x ¯ = ± x {\displaystyle \alpha (x)=\pm x\qquad {}^{t}\!x=\pm x\qquad {\bar {x}}=\pm x} ただし符号は以下の表によって与えられる： k mod 40123 α ( x ) {\displaystyle \alpha (x)} + − + − (−1)k t x {\displaystyle {}^{t}\!x} + + − − (−1)k(k−1)/2 x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}} + − − + (−1)k(k+1)/2
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