多項式の根の重複度
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/06 16:07 UTC 版)
「重複度 (数学)」の記事における「多項式の根の重複度」の解説
F を体とし p(x) を F に係数をもつ一変数多項式とする。元 a ∈ F は次のようなとき p(x) の重複度 k の根と呼ばれる。ある多項式 s(x) が存在して s(a) ≠ 0 かつ p(x) = (x − a)ks(x)。k = 1 であれば、a は単根（英語版）と呼ばれる。k ≥ 2 であれば、a は重根 (multiple root) と呼ばれる。 例えば、多項式 p(x) = x3 + 2x2 − 7x + 4 は 1 と −4 を根としてもち、p(x) = (x + 4)(x − 1)2 と書くことができる。これが意味するのは、1 は重複度 2 の根であり −4 は'単'根（重複度 1）である。重複度は「根が何回もとの方程式に現れるか?」として考えることができる。 多項式の導関数は多項式の重複度 n の根において重複度 n - 1 の根をもつ。多項式の判別式 が 0 であることと多項式が重根をもつことは同値である。
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