多項式の決定
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/21 02:44 UTC 版)
「多項式函数 (初等数学)」の記事における「多項式の決定」の解説
ℝ または ℂ 上定義された n 次多項式函数が、n より大きな回数 0 になることはないことが示せる。したがって、次数が高々 n の二つの多項式が、n 個より多くの点で一致しているならば、両者が恒等的に一致（次数が等しくかつすべての係数も等しい）していなければならない。これを「多項式の決定」(identification; 同定) あるいは係数比較という。 これは特定の式に対するより良い近似式を見つける方法を与える効果的な性質である。 例 1 全ての実数 x に対し x3 + 3x2 − 16x + 12 = (x − 2)(x2 + ax + b) となる a, b を求めよf(x) := x3 + 3x2 − 16x + 12, g(x) := (x − 2)(x2 + ax + b) とおいて g(x) を展開する: g(x) = x3 + (a − 2)x2 + (b − 2a)x − 2b. 二つの多項式函数は三点以上で一致しているから恒等的に等しくなり、ともに同じ次数 3 を持ち、すべての次数の係数がそれぞれ等しい。言葉を変えれば、すべての x において f(x) = g(x) となるための必要十分条件は { 1 = 1 3 = a − 2 − 16 = b − 2 a 12 = − 2 b ⟺ { a = 5 b = − 6 . {\displaystyle {\begin{cases}1=1\\3=a-2\\-16=b-2a\\12=-2b\end{cases}}\iff {\begin{cases}a=5\\b=-6\end{cases}}.} したがって、f(x) = (x − 2)(x2 + 5x − 6) を得る。 例 2 f(x) = x4 − 4x3 + 9x2 − 10x − 1 で定義される多項式函数のグラフが方程式 x = 1 で表される直線を軸とする対称性を持つことに注意する。すべての実数 x に対して f(x) = (x − 1)4 + a(x − 1)2 + b を満たす二つの実数 a, b を求めよ。g(x) := (x − 1)4 + a(x − 1)2 + b とおき、g(x) をよく知られた公式（二項定理）によって展開する:g(x) = x4 − 4x3 + (6 + a)x2 − (4 + 2a)x + 1 + a + b, よって係数比較: { 1 = 1 − 4 = − 4 9 = 6 + a 10 = 4 + 2 a − 1 = 1 + a + b ⟺ { a = 3 b = − 5 {\displaystyle {\begin{cases}1=1\\-4=-4\\9=6+a\\10=4+2a\\-1=1+a+b\end{cases}}\iff {\begin{cases}a=3\\b=-5\end{cases}}} により f(x) = (x − 1)4 + 3(x − 1)2 − 5 を得る。 例 3 x ≠ 2 で定義された有理函数 f(x) := 2x2 + 3x − 5/x − 2 を簡約形にせよ。すなわち、任意の x ≠ 2 に対して f(x) = ax + b + c/x − 2 を満たす実数 a, b, c を求めよ。g(x) := ax + b + c/x − 2 とおいて通分すれば g(x) = ax2 + (b − 2a)x + c − 2b/x − 2. 二つの函数 f, g は分母が等しいから、両者が x ≠ 2 で一致するための必要十分条件は、両者の分子が x ≠ 2 で一致することである。これらの分子はともに二次の多項式で二点以上で一致しているから、両者の係数比較 { 2 = a 3 = b − 2 a − 5 = c − 2 b ⟺ { a = 2 b = 7 c = 9 {\displaystyle {\begin{cases}2=a\\3=b-2a\\-5=c-2b\end{cases}}\iff {\begin{cases}a=2\\b=7\\c=9\end{cases}}} により f(x) = 2x + 7 + 9/x − 2 を得る。
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