多項式基底と変換係数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/05 15:32 UTC 版)
詳細は「二項係数」および「スターリング数」を参照 上昇階乗冪 xn (n = 1, 2, 3, …) および下降階乗冪xn (n = 1, 2, 3, …) はそれぞれ、x を変数とする多項式とみるとき多項式環の基底になる。標準基底 xn (n = 1, 2, 3, …) との基底変換は以下のように与えられる: x n _ = ∑ k = 0 n ( − 1 ) n + k [ n k ] x k , {\displaystyle x^{\underline {n}}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n+k}\left[{n \atop k}\right]\,x^{k},} x n = ∑ k = 0 n { n k } x k _ . {\displaystyle x^{n}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}\,x^{\underline {k}}.} ただし、 [ n k ] {\displaystyle \textstyle \left[{n \atop k}\right]} は第一種スターリング数、 { n k } {\displaystyle \textstyle \left\{{n \atop k}\right\}} は第二種スターリング数である。 同様に、上昇階乗冪と通常の冪には次の関係がある。 x n ¯ = ∑ k = 0 n [ n k ] x k , {\displaystyle x^{\overline {n}}=\sum _{k=0}^{n}\left[{n \atop k}\right]\,x^{k},} x n = ∑ k = 0 n ( − 1 ) n + k { n k } x k ¯ . {\displaystyle x^{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n+k}\left\{{n \atop k}\right\}\,x^{\overline {k}}.}
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