多項式列の陰合成
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/02/20 06:07 UTC 版)
詳細は「シェファー列」を参照 二項型多項式列の全体の成す集合は、多項式列の「陰合成」("umbral composition") を群演算とする群を成す。この演算は以下のように与えられるものである。二つの多項式列 { pn(x) : n = 0, 1, 2, 3, … }, { qn(x) : n = 0, 1, 2, 3, … } に対して、 p n ( x ) = ∑ k = 0 n a n , k x k , q n ( x ) = ∑ k = 0 n b n , k x k {\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k},\quad q_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}b_{n,k}x^{k}} と書くとき、これら二つの数列の陰合成 p ∘ q はその第 n-項が ( p n ∘ q ) ( x ) = ∑ k = 0 n a n , k q k ( x ) = ∑ 0 ≤ k ≤ ℓ ≤ n a n , k b k , ℓ x ℓ {\displaystyle (p_{n}\circ q)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}q_{k}(x)=\sum _{0\leq k\leq \ell \leq n}a_{n,k}b_{k,\ell }x^{\ell }} で与えられる多項式列である。（ここで、p の方は第 n-項を考えるのでそれを示す下付き添字を付けて pn としているが、対する q は（一つの項ではなくて）全ての項を考えるので添え字は現れていない）。 デルタ作用素を上述の如く微分作用素 D の冪級数として定義するとき、冪級数の間の群演算は冪級数の形式的な合成とすれば、既に述べたデルタ作用素と二項型多項式列との間の自然な全単射は群の同型である。
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