多項式の既約性判定
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/10 16:16 UTC 版)
「ヘンゼルの補題」の記事における「多項式の既約性判定」の解説
仮定は今までと同じとし、既約多項式 f ( x ) = a 0 + a 1 x + ⋯ + a n x n ∈ K [ X ] {\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}\in K[X]} が a 0 , a n ≠ 0 {\displaystyle a_{0},a_{n}\neq 0} だったとすると、 | f | = max { | a 0 | , | a n | } {\displaystyle |f|=\max\{|a_{0}|,|a_{n}|\}} である。 f ( X ) = X 6 + 10 X − 1 {\displaystyle f(X)=X^{6}+10X-1} の場合だと、 Q 2 [ X ] {\displaystyle \mathbb {Q} _{2}[X]} で | f ( X ) | = max { | a 0 | , … , | a n | } = max { 0 , 1 , 0 } = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}|f(X)|&=\max\{|a_{0}|,\ldots ,|a_{n}|\}\\&=\max\{0,1,0\}=1\end{aligned}}} であるが、 max { | a 0 | , | a n | } = 0 {\displaystyle \max\{|a_{0}|,|a_{n}|\}=0} なので、この多項式は既約ではありえない。一方 Q 7 [ X ] {\displaystyle \mathbb {Q} _{7}[X]} では両方の値が等しいので既約である可能性がある。既約であるかどうか決定するためにはニュートンの多角形を使う必要があるpg 144。
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