根の計算
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/22 07:55 UTC 版)
多項式の根の計算にミューラー法（フランス語版）が利用できる。多項式 P をラグランジュ補間により二次多項式 a 2 x 2 + b 2 x + c 2 {\textstyle a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2}} で補間する。P の補間式の係数を、三点 x1, x2, x3 で評価して求めれば: a 2 = P [ x 0 , x 1 ] − P [ x 1 , x 2 ] x 0 − x 2 = P [ x 0 , x 1 , x 2 ] {\displaystyle a_{2}={\frac {P[x_{0},x_{1}]-P[x_{1},x_{2}]}{x_{0}-x_{2}}}=P[x_{0},x_{1},x_{2}]} b 2 = P [ x 1 , x 2 ] − a 2 × ( x 1 + x 2 ) {\displaystyle b_{2}=P[x_{1},x_{2}]-a_{2}\times (x_{1}+x_{2})} c 2 = P ( x 2 ) − a 2 × x 2 2 − b 2 × x 2 {\displaystyle c_{2}=P(x_{2})-a_{2}\times x_{2}^{2}-b_{2}\times x_{2}} となる。ただし、 f [ u , v ] = f ( u ) − f ( v ) u − v {\textstyle f[u,v]={\frac {f(u)-f(v)}{u-v}}} は差商である。 しかし、この近似多項式を使うことは、この多項式の根の選択に問題を生じる。そこでミュラーは同じ多項式を、根に収束する xn に対する a n ( x − x n ) 2 + b n ( x − x n ) + c n {\textstyle a_{n}(x-x_{n})^{2}+b_{n}(x-x_{n})+c_{n}} の形で用いることを考えた。このアルゴリズムを詳しく書けば、xn を複素数として、各係数は a n = P [ x n − 2 , x n − 1 , x n ] {\displaystyle a_{n}=P[x_{n-2},x_{n-1},x_{n}]} b n = P [ x n − 1 , x n ] − a n × ( x n − 1 − x n ) {\displaystyle b_{n}=P[x_{n-1},x_{n}]-a_{n}\times (x_{n-1}-x_{n})} c n = P ( x n ) {\displaystyle c_{n}=P(x_{n})} で与えられる。この方法は自己収束的、すなわち根の計算は徐々に精度を上げる。そこで n = 2, x0 = -1, x1 = 0, x2 = 1 を初期値とすると、考えてる多項式が xn で消えていない限り、n + 1 回目の反復で r = b n 2 − 4 a n c n {\displaystyle r={\sqrt {b_{n}^{2}-4a_{n}c_{n}}}} または b n 2 − 4 a n c n {\textstyle b_{n}^{2}-4a_{n}c_{n}} が負または複素数 d = { − 2 c n b n − r ( | b n + r | < | b n − r | ) − 2 c n b n + r otherwise {\displaystyle d={\begin{cases}{\frac {-2c_{n}}{b_{n}-r}}&(|b_{n}+r|<|b_{n}-r|)\\[5pt]{\frac {-2c_{n}}{b_{n}+r}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}} x n + 1 = x n + d {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}+d} となる。最終的に xn は零点に到達する。
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根の計算
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/23 00:25 UTC 版)
詳細は「求根アルゴリズム」を参照 詳細は「en:Equation solving」を参照 ある種の関数、特に多項式関数の根を計算するには、しばしばそれ専用のあるいは近似の手法（例えばニュートン法）を使うことが要求される。
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