モニック単項式のモノイド

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モニック単項式のモノイド

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/03/12 08:25 UTC 版)

「多変数多項式」の記事における「モニック単項式のモノイド」の解説

不定元の添字からなる（任意の）集合 S に、S 上の自由（英語版）可換モノイドを対応付ける。 加法的記法を用いて、考えたい自由可換モノイドは、S から非負整数全体の成す集合 ℕ への、台が有限な写像（つまり、有限個の例外を除く全ての成分が 0 となる非負整数の族 (ks)s∈S）全体の成す集合 ℕ(S) に成分ごとの和を入れたものとして書くことができる。各 s ∈ S に対し、このモノイドの元 es を s において 1, それ以外では 0 となるような S から ℕ への写像と定めれば、(es)s∈S はこの可換モノイドの「基底」となる。それはつまり ℕ(S) の各元が es の形の元の有限和（各 es は何度も重複して用いてよい）として一意に書けるという意味である。具体的に (ks)s∈S は 0 でない非負整数 ks 全て（それは有限個しかない）に対する kses の和である。 モニック単項式全体の成すモノイド MS も同じく S 上の自由可換モノイドであるが、記法は乗法的であり、標準基底は (Xs)s∈S と書かれる。すなわち、任意のモニック単項式は Xs の冪の有限積として一意に表される。