第一基本定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/30 04:01 UTC 版)
a ∈ C とし、次式のように定義する。 N ( r , a , f ) = N ( r , 1 f − a ) , m ( r , a , f ) = m ( r , 1 f − a ) {\displaystyle \quad N(r,a,f)=N\left(r,{\dfrac {1}{f-a}}\right),\quad m(r,a,f)=m\left(r,{\dfrac {1}{f-a}}\right)} ここで、 a = ∞ とすると、 N(r,∞,f) = N(r,f), m(r,∞,f) = m(r,f) となる。 ネヴァンリンナ理論の第一基本定理は、リーマン面の全ての a について、次のことを述べている。 T ( r , f ) = N ( r , a , f ) + m ( r , a , f ) + O ( 1 ) , {\displaystyle T(r,f)=N(r,a,f)+m(r,a,f)+O(1),\,} ここで、境界項 O(1) は f と a に依存することがある。平面上の非定常な有理型関数の場合、 r が無限大になるにつれて T(r, f) は無限大になるので、第一基本定理は、和 N(r,a,f) + m(r,a,f) が a に依存しない速度で無限大になることを述べている。第一基本定理は、イェンセンの公式の単純な帰結である。 標数関数は、次のような性質を持っている。 T ( r , f g ) ≤ T ( r , f ) + T ( r , g ) + O ( 1 ) , T ( r , f + g ) ≤ T ( r , f ) + T ( r , g ) + O ( 1 ) , T ( r , 1 / f ) = T ( r , f ) + O ( 1 ) , T ( r , f m ) = m T ( r , f ) + O ( 1 ) , {\displaystyle {\begin{array}{lcl}T(r,fg)&\leq &T(r,f)+T(r,g)+O(1),\\T(r,f+g)&\leq &T(r,f)+T(r,g)+O(1),\\T(r,1/f)&=&T(r,f)+O(1),\\T(r,f^{m})&=&mT(r,f)+O(1),\,\end{array}}} ここで、 m は自然数である。 T(r,f) が無限大に傾いているとき、境界項 O(1) は無視できる値である。これらの代数的性質はネヴァンリンナの定義とイェンセンの公式から簡単に得られる。
※この「第一基本定理」の解説は、「ネヴァンリンナ理論」の解説の一部です。
「第一基本定理」を含む「ネヴァンリンナ理論」の記事については、「ネヴァンリンナ理論」の概要を参照ください。
- 第一基本定理のページへのリンク
