欠陥関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/30 04:01 UTC 版)
欠陥関係(defect relation)は、第二基本定理の主要な従属関係の一つである。点 a における有理型関数の欠陥は、次の式で定義される。 δ ( a , f ) = lim inf r → ∞ m ( r , a , f ) T ( r , f ) = 1 − lim sup r → ∞ N ( r , a , f ) T ( r , f ) {\displaystyle \delta (a,f)=\liminf _{r\rightarrow \infty }{\frac {m(r,a,f)}{T(r,f)}}=1-\limsup _{r\rightarrow \infty }{\dfrac {N(r,a,f)}{T(r,f)}}} 第一基本定理では、 T(r,f) が無限大になる場合、 0 ≤ δ(a,f) ≤ 1 となる（これは平面上で有理型化する不変関数の場合には常にそうなる）。 δ(a,f) > 0 となる点 a を欠陥値(deficient values)と呼ぶ。第二基本定理は、平面内の有理型関数の欠損値の集合は可算集合であり、次の関係が成り立つことを暗示している。 ∑ a δ ( a , f ) ≤ 2 {\displaystyle \sum _{a}\delta (a,f)\leq 2} ここで、和は全ての欠陥値を含む。これはピカールの定理の一般化と考えることができる。他の多くのピカール型定理は第二基本定理から派生することができる。 第二基本定理のもう一つの補論として，次のように求めることができる。 T ( r , f ′ ) ≤ 2 T ( r , f ) + S ( r , f ) {\displaystyle T(r,f')\leq 2T(r,f)+S(r,f)} これは、次数 d の有理関数が 2d − 2 < 2d の臨界点を持つという事実を一般化したものである。
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