第一基本定理の一般化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/21 13:56 UTC 版)
「微分積分学の基本定理」の記事における「第一基本定理の一般化」の解説
微分積分学の第一基本定理において、関数 f は、区間 I {\displaystyle I} の全体で連続である必要はなく、次のように弱められる： ルベーグ積分可能な関数に対する第一定理の一般化 ― a , x ∈ I {\displaystyle a,x\in I} とし、区間 I {\displaystyle I} 上ルベーグ積分可能であり、 x 0 ∈ I {\displaystyle x_{0}\in I} で連続な関数 f {\displaystyle f} について、その原始関数を F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t {\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt} とする。この F {\displaystyle F} は x 0 {\displaystyle x_{0}} 上で微分可能であり、また d F d x ( x ) | x = x 0 = f ( x 0 ) {\displaystyle \left.{\tfrac {dF}{dx}}(x)\right|_{x=x_{0}}=f(x_{0})} が成り立つ。 またさらに、 f {\displaystyle f} は単に局所可積分であるとした場合でも、関数 F {\displaystyle F} はほとんど至るところ微分可能かつほとんど至るところ d F d x ( x ) = f ( x ) {\displaystyle {\tfrac {dF}{dx}}(x)=f(x)} である。 実数直線上では、この事実はルベーグの微分定理と同値となる。これらの結果は、より大きなクラスの積分可能な関数を定めるヘンストック＝クルツヴァイル積分においても成立する。 より高い次元では、ルベーグの微分定理は、「ほとんどすべての x {\displaystyle x} について、関数 f {\displaystyle f} の x {\displaystyle x} を中心とする半径 r {\displaystyle r} の球上における平均値が、 r {\displaystyle r} が 0 に近づくとき、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} に近づく」という形で微積分の基本定理を一般化する。
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