収束することの証明とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

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収束することの証明

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/06/27 07:08 UTC 版)

1 2 2 − 1 + 1 2 3 − 1 + 1 3 2 − 1 + 1 4 2 − 1 + 1 5 2 − 1 + . . . = 1 3 + 1 7 + 1 8 + 1 15 + 1 24 + . . . < 1 3 + 1 4 + 1 8 + 1 9 + 1 16 + . . . = 1 3 + ∑ m = 2 ∞ ∑ k = 2 ∞ 1 m k = 1 3 + ∑ m = 2 ∞ 1 m 2 ∑ k = 0 ∞ 1 m k = 1 3 + ∑ m = 2 ∞ 1 m 2 m m − 1 = 1 3 + ∑ m = 2 ∞ ( 1 m − 1 − 1 m ) = 1 3 + 1 = 4 3 {\displaystyle {\begin{aligned}&\quad {\frac {1}{2^{2}-1}}+{\frac {1}{2^{3}-1}}+{\frac {1}{3^{2}-1}}+{\frac {1}{4^{2}-1}}+{\frac {1}{5^{2}-1}}+...\\&={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+...\\&<{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+...\\&={\frac {1}{3}}+\sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}\\&={\frac {1}{3}}+\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}\\&={\frac {1}{3}}+\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}{\frac {m}{m-1}}={\frac {1}{3}}+\sum _{m=2}^{\infty }\left({\frac {1}{m-1}}-{\frac {1}{m}}\right)={\frac {1}{3}}+1={\frac {4}{3}}\\\end{aligned}}} したがって 1 3 + 1 7 + 1 8 + 1 15 + 1 24 + . . . < 4 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+...<{\frac {4}{3}}} である。この級数は単調増加なので 4 3 {\displaystyle {\frac {4}{3}}} 未満の実数に収束する。

※この「収束することの証明」の解説は、「ゴールドバッハ・オイラーの定理」の解説の一部です。
「収束することの証明」を含む「ゴールドバッハ・オイラーの定理」の記事については、「ゴールドバッハ・オイラーの定理」の概要を参照ください。

収束することの証明

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/13 14:41 UTC 版)

「バーゼル問題」の記事における「収束することの証明」の解説

比較判定法による。 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 < 1 + ∑ n = 2 ∞ 1 n ( n − 1 ) = 1 + ∑ n = 2 ∞ ( 1 n − 1 − 1 n ) = 1 + ( 1 1 − 1 2 ) + ( 1 2 − 1 3 ) + ( 1 3 − 1 4 ) + ⋯ = 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}&<1+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n(n-1)}}\\&=1+\sum _{n=2}^{\infty }\left({\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}}\right)\\&=1+\left({\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}\right)+\cdots \\&=2\\\end{aligned}}} である。したがってこの級数は収束する。一般にゼータ関数 ζ(s) は Re s > 1 の範囲で収束する。