収束すると考えた場合の計算
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/06 15:02 UTC 版)
「1−2+3−4+…」の記事における「収束すると考えた場合の計算」の解説
以下の議論は単なるヒューリスティクスであり、現代的な観点からは厳密な証明とは認められない。 S = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − … とおき、4S を計算する。 4S = (1−2+3−4+5−…)+(1−2+3−4+5−…)+(1−2+3−4+5−…)+(1−2+3−4+5−6+…) = (1−2+3−4+…)+1+(−2+3−4+5−…)+1+(−2+3−4+5−…)+1−2+(+3−4+5−6+…) = 1+(1−2−2+3)+(+3−4−4+5)+(−2+3+3−4)+(−4+5+5−6)+… = 1 よって、S = 1/4 である。 なお 2S = (1−2+3−4+5−…)+(1−2+3−4+5−6+…) = 1+(−2+3−4+5−…)+1−2+(+3−4+5−6+…) = 0+(−2+3)+(+3−4)+(−4+5)+(+5−6)+… = 1−1+1−1+… 2S = 1/2 なので、1−1+1−1+… = 1/4 となる。 (1−1+1−1+…)2 = 1−2+3−4+…, 1−1+1−1+… = 1/2 であることを利用して 1−2+3−4+… = 1/4 を証明する方法がある。 1−1+1−1+… は公式 1 − x + x 2 − x 3 + ⋯ = 1 1 + x {\displaystyle 1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots ={\frac {1}{1+x}}} （右辺のマクローリン展開とも考えられる） に形式的に x = 1 を代入したものと考えることにする（ただし本来この式は −1 < x < 1 の範囲でしか成り立たない）。 またこの式の両辺を x で微分して −1 をかけると 1 − 2 x + 3 x 2 − 4 x 3 + ⋯ = 1 ( 1 + x ) 2 {\displaystyle 1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots ={\frac {1}{(1+x)^{2}}}} となる。ここで形式的に x = 1 を代入すると 1−2+3−4+… = 1/4 を得る。これらの他にも収束値を求める方法はいくつか知られている。
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