1−2 3−4 …

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1−2+3−4+…

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/11 03:24 UTC 版)

1−2+3−4+… の部分和が発散する様子の模式図

1−2+3−4+… は、無限級数の一つで、項番号と同じ自然数が各項に現れる交項級数として以下の式で表される。

$\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}n$

白丸をプラス、赤丸をマイナスとしたとき4つの級数の和が1になることの説明。線で結ばれた白と赤の丸が相殺しあい、緑丸1つが残っている

以下の議論は単なるヒューリスティクスであり、現代的な観点からは厳密な証明とは認められない。

S = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − … とおき、4S を計算する。

4S = (1−2+3−4+5−…)+(1−2+3−4+5−…)+(1−2+3−4+5−…)+(1−2+3−4+5−6+…)

　 = (1−2+3−4+…)+1+(−2+3−4+5−…)+1+(−2+3−4+5−…)+1−2+(+3−4+5−6+…)

　 = 1+(1−2−2+3)+(+3−4−4+5)+(−2+3+3−4)+(−4+5+5−6)+…

　 = 1

よって、S = 1/4 である。

なお

2S = (1−2+3−4+5−…)+(1−2+3−4+5−6+…)

　 = 1+(−2+3−4+5−…)+1−2+(+3−4+5−6+…)

　 = 0+(−2+3)+(+3−4)+(−4+5)+(+5−6)+…

　 = 1−1+1−1+…

S = 1/2 なので、1−1+1−1+… = 1/2 となる。

(1−1+1−1+…)² = 1−2+3−4+…, 1−1+1−1+… = 1/2 であることを利用して 1−2+3−4+… = 1/4 を証明する方法がある。

1−1+1−1+… は公式

$1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots ={\frac {1}{1+x}}$

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