一点での連続性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/04 05:30 UTC 版)
位相空間X上で定義された関数fの点x∈Xにおける連続性を以下のように定義する。 定義・定理 (一点における連続性) ― ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} 、 ( Y , O Y ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})} を位相空間とし、f: X → Yを写像とし、xをXの点とする。このとき以下の２条件は同値であり、この２条件の一方（したがって両方）を満たすとき、fはx∈Xで連続(英: continuous)であるという。以下で N x {\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}} はxの(開とは限らない)近傍全体を表す： xに収束する任意の有向点族 ( x λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} に対し、 ( f ( x λ ) ) λ ∈ Λ {\displaystyle (f(x_{\lambda }))_{\lambda \in \Lambda }} は f ( x ) {\displaystyle f(x)} に収束する。 f(x)の近傍のfによる逆像はxの近傍である。すなわち、 ∀ N ∈ N f ( x ) : f − 1 ( N ) ∈ N x {\displaystyle \forall N\in {\mathcal {N}}_{f(x)}~:~f^{-1}(N)\in {\mathcal {N}}_{x}} 我々はXにハウスドルフ性を仮定していないので、以上の定理で有向点族の収束の一意性が保証されていない事に注意されたい。 証明 (⇒)背理法で示す。 N ∈ N f ( x ) {\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{f(x)}} で f − 1 ( N ) ∉ N x {\displaystyle f^{-1}(N)\notin {\mathcal {N}}_{x}} となるものがあったとすると、近傍の定義よりxを含む任意の開集合Uに対し、 U ∖ f − 1 ( N ) {\displaystyle U\setminus f^{-1}(N)} の点xUが存在する。xの開近傍系を V x {\displaystyle {\mathcal {V}}_{x}} とすると、収束の定義より有向点族 ( x U ) U ∈ V x {\displaystyle (x_{U})_{U\in {\mathcal {V}}_{x}}} はxに収束する。よって仮定より ( f ( x U ) ) U ∈ V x {\displaystyle (f(x_{U}))_{U\in {\mathcal {V}}_{x}}} はf(x)に収束する。 Nはf(x)の近傍であったので、あるf(x)の開近傍Vが存在し、V⊂Nである。 ( f ( x U ) ) U ∈ V x {\displaystyle (f(x_{U}))_{U\in {\mathcal {V}}_{x}}} はf(x)に収束するので、xU⊂Vを満たすxUが存在する。 しかしxUの取り方より x U ∉ f − 1 ( N ) {\displaystyle x_{U}\notin f^{-1}(N)} であったので、 f ( x U ) ∉ N {\displaystyle f(x_{U})\notin N} であり、よって特に f ( x U ) ∉ V {\displaystyle f(x_{U})\notin V} であるのでこれは矛盾である。 ( ⇐ {\displaystyle \Leftarrow } )有向点族 ( x λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} がxに収束するとする。 N ∈ N f ( x ) {\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{f(x)}} を任意に取ると、仮定よりf-1(N)はxの近傍であるので、有向点族 ( x λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} がxに収束するから、あるλ0∈Λが存在し、 λ ≥ λ 0 {\displaystyle \lambda \geq \lambda _{0}} を満たす任意のλ∈Λに対し、xλ∈f-1(N)であり、よってf(xλ)∈Nである。これは有向点族 ( f ( x λ ) ) λ ∈ Λ {\displaystyle (f(x_{\lambda }))_{\lambda \in \Lambda }} がf(x)に収束する事を意味する。
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