有向点族とその極限
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/29 17:06 UTC 版)
有向点族とその収束の定義は点列とその収束性の定義を自然に有向集合の場合に拡張する事で得られる。 定義（有向点族）位相空間X 上の有向点族とは、ある有向集合 Λ から X への写像のことである。これをしばしば (xλ)λ∈Λ あるいは簡単に (xλ) のように記して、Λ で添字付けられる有向点族などと呼ぶ。 以下、a≥b を b≤aの単なる言い換えとして使用する（つまり上界は引き続き「＜」記号の見た目が開いている側で定義されているものとする）。 定義（有向点族の収束）位相空間X 上の有向点族(xλ)λ∈ΛがX 上の点x に収束するとは、x の任意の近傍U に対し、(xλ)λ∈ΛがU にほとんど含まれる事をいう。 ここで(xλ)λ∈ΛがX の部分集合Y にほとんど含まれる (eventually in) とは、あるλ∈Λが存在し、γ ≥ λを満たす全てのγ∈Λに対しxγ が Y に含まれる事を言う。 (xλ)λ∈Λがa に収束している事を l i m x λ = a {\displaystyle \mathrm {lim} ~x_{\lambda }=a\,} と表す。
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