有向点族による位相構造の特徴づけ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/29 17:06 UTC 版)
「有向点族」の記事における「有向点族による位相構造の特徴づけ」の解説
概要でも記したように、有向点族の概念を用いる事で位相構造を特徴づける事ができる。ここでは閉包の特徴づけのみを説明するが、他の位相に関する概念、例えば閉集合、開集合、内点、外点、境界点も有向点族で特徴づけが可能である。 定理（有向点族による閉包の特徴づけ）A を位相空間X の任意の部分集合とする。このとき、点a がA の閉包に含まれる必要十分条件は以下の性質(1)が成り立つ事である： ある有向集合ΛとA 上のある有向点族(xλ)λ∈Λが存在し、(xλ)λ∈Λはa に収束する。 ...(1) 一方、点列の概念を用いた場合は閉集合と開集合を点列で特徴づけられるには空間が可算性に関する条件を満たす必要があるし、閉包が点列で特徴づけられるにはさらに厳しい条件が必要となる。（詳細は列型空間を参照）。 上の定理は以下のように非常に簡単に示せる。まずよく知られているように a ∈ A ¯ {\displaystyle a\in {\bar {A}}} である事は以下と同値である： a の任意の近傍U に対し、 U ∩ A ≠ ∅ {\displaystyle U\cap A\neq \emptyset } ...(2) これはU ∩ A に少なくとも一つ元が存在する事を意味するので、そのような元をx U とすると x U ∈ U ∩ A ⊂ A {\displaystyle x_{U}\in U\cap A\subset A} である事から ( x U ) U ∈ N a {\displaystyle (x_{U})_{U\in {\mathcal {N}}_{a}}} はA 上にある。しかも前節で述べたように ( x U ) U ∈ N a {\displaystyle (x_{U})_{U\in {\mathcal {N}}_{a}}} は有向点族でありしかもa に収束する。よって十分性が言えた。 逆にa に収束するA 上の有向点族(xλ)λ∈Λがあったとすれば、収束性の定義からa の任意の近傍U 内に有向点族の点xλが存在する。しかも仮定からxλ ∈ A でもあったので、これは(2)が成立する事を意味し、したがって a ∈ A ¯ {\displaystyle a\in {\bar {A}}} である。こうして必要性も言えた。
※この「有向点族による位相構造の特徴づけ」の解説は、「有向点族」の解説の一部です。
「有向点族による位相構造の特徴づけ」を含む「有向点族」の記事については、「有向点族」の概要を参照ください。
- 有向点族による位相構造の特徴づけのページへのリンク
