誤差項の導入
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/02 17:04 UTC 版)
「誤差項」の導入を行う。 f {\displaystyle {\textbf {f}}} と p {\displaystyle {\textbf {p}}} に対し、 f {\displaystyle {\textbf {f}}} の p {\displaystyle {\textbf {p}}} における誤差項（ランダウの記号） o [ f , p ] {\displaystyle {\textbf {o}}_{[{\textbf {f}},{\textbf {p}}]}} を o [ f , p ] ( x ) = f ( x ) − ( ( J f ) [ p ] ⋅ ( x − p ) + f ( p ) ) {\displaystyle \mathbf {o} _{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}(\mathbf {x} )=\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\left({(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right)} (2-13) によって定める。 lim x → p o [ f , p ] = 0 {\displaystyle {\underset {{\textbf {x}}\to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}=\mathbf {0} } (2-14) lim x → p o [ f , p ] ( x ) ‖ x − p ‖ = 0 {\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,{\frac {{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}(\mathbf {x} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}=\mathbf {0} } (2-15) であることが分かる。 (2-14) は、以下の恒等式 f ( x ) = ( J f ) [ p ] ⋅ ( x − p ) + f ( p ) + o [ f , p ] ( x ) {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )={(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {f} (\mathbf {p} )+{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}(\mathbf {x} )} (2-16) の x {\displaystyle {\textbf {x}}} に p {\displaystyle {\textbf {p}}} を代入すれば直ちに得られる。(2-16) の恒等式ことを、本記事では f {\displaystyle {\textbf {f}}} の点 p {\displaystyle {\textbf {p}}} における一次展開ということにする。(2-15) 式は、(2-2) 式に (2-13) 式を代入したに過ぎないが、 o [ f , p ] {\displaystyle {\textbf {o}}_{[{\textbf {f}},{\textbf {p}}]}} が一次の微小量であることを意味しており、思想的には重要である。 (2-16) 式と (2-13) 式を見比べると、ヤコビ行列は f {\displaystyle {\textbf {f}}} の一次近似を表していると見ることができる。つまり、点 p {\displaystyle {\textbf {p}}} の近傍で f {\displaystyle {\textbf {f}}} は f ( x ) ≃ f ( p ) + ( J f ) [ p ] ( p ) ( x − p ) {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )\simeq \mathbf {f} (\mathbf {p} )+{{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}}(\mathbf {p} )(\mathbf {x} -\mathbf {p} )} (2-17) とみなせることが分かる。
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