方程式の構成
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「カーダー-パリージ-ザン方程式」の記事における「方程式の構成」の解説
右辺第二項の非線形項 がなければ、方程式はエドワーズ-ウィルキンソン方程式 (Edwards-Wilkinson equation, EW eq.) になる。 界面の傾きを とし、その方向に速度 で界面が成長すると考えると、微小時間 の間に、界面の高さは だけ変化する。 と置き換えられることに注意すれば、 とテイラー展開することができる。展開の第一項は座標変換によって消去することができるので、最も主要な項は第二項の非線形項であり、これが KPZ 方程式の非線形項を与える。
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方程式の構成
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「カーダー・パリージ・ザン方程式」の記事における「方程式の構成」の解説
右辺第2項の非線形項 λ 2 ( ∇ h ) 2 ( x → , t ) {\displaystyle \textstyle {\frac {\lambda }{2}}\left(\nabla h\right)^{2}\left({\vec {x}},t\right)} がなければ、方程式はエドワーズ・ウィルキンソン方程式 (Edwards–Wilkinson equation; EW eq.) になる。界面の傾きを θ {\displaystyle \textstyle \theta } とし、その方向に速度 v {\displaystyle \textstyle v} で界面が成長すると考えると、微小時間 δ t {\displaystyle \textstyle \delta t} の間に、界面の高さは δ h = [ ( v δ t ) 2 + ( v δ t tan θ ) 2 ] 1 / 2 {\displaystyle \textstyle \delta h=\left[\left(v\delta t\right)^{2}+\left(v\delta t\tan \theta \right)^{2}\right]^{1/2}} だけ変化する。 tan θ = | ∇ h | {\displaystyle \textstyle \tan \theta =\left|\nabla h\right|} と置き換えられることに注意すれば、 δ h δ t = v [ 1 + ( ∇ h ) 2 ] 1 / 2 ≃ v + v 2 ( ∇ h ) 2 + ⋯ , {\displaystyle {\frac {\delta h}{\delta t}}=v\left[1+\left(\nabla h\right)^{2}\right]^{1/2}\simeq v+{\frac {v}{2}}\left(\nabla h\right)^{2}+\cdots ,} とテイラー展開することができる。展開の第1項は座標変換によって消去することができるので、最も主要な項は第2項の非線形項であり、これが KPZ方程式の非線形項を与える。
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方程式の構成
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「グロス＝ピタエフスキー方程式」の記事における「方程式の構成」の解説
グロス＝ピタエフスキー方程式はシュレーディンガー方程式に相互作用項を加えた形をしている。結合定数 g は相互作用する二つのボソンの間の散乱長 as に比例する： g = 4 π ℏ 2 a s m . {\displaystyle g={\frac {4\pi \hbar ^{2}a_{\mathrm {s} }}{m}}\,.} ここで ℏ {\displaystyle \hbar } は換算プランク定数であり m はボソンの質量である。 エネルギー密度は E = ℏ 2 2 m | ∇ Ψ ( r ) | 2 + V ( r ) | Ψ ( r ) | 2 + 1 2 g | Ψ ( r ) | 4 {\displaystyle {\mathcal {E}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\vert \nabla \Psi ({\boldsymbol {r}})\vert ^{2}+V({\boldsymbol {r}})\vert \Psi ({\boldsymbol {r}})\vert ^{2}+{\frac {1}{2}}g\vert \Psi ({\boldsymbol {r}})\vert ^{4}} となる。ここで Ψ は波動関数かあるいは秩序変数であり、V(r) は外場によるポテンシャルである。 粒子数が保存する、時間に依存しないグロス＝ピタエフスキー方程式は以下のようになる。 μ Ψ ( r ) = ( − ℏ 2 2 m ∇ 2 + V ( r ) + g | Ψ ( r ) | 2 ) Ψ ( r ) {\displaystyle \mu \Psi ({\boldsymbol {r}})=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V({\boldsymbol {r}})+g\vert \Psi ({\boldsymbol {r}})\vert ^{2}\right)\Psi ({\boldsymbol {r}})} ここで μ は化学ポテンシャルである。化学ポテンシャルは波動関数の規格化条件によって与えられる。 N = ∫ | Ψ ( r ) | 2 d 3 r . {\displaystyle N=\int \vert \Psi ({\boldsymbol {r}})\vert ^{2}\,\mathrm {d} ^{3}r\,.} 時間に依存しないグロス＝ピタエフスキー方程式より、調和トラップなど様々なトラップポテンシャル中でのボース＝アインシュタイン凝縮体の振る舞いを見ることができる。 時間に依存するグロス＝ピタエフスキー方程式は以下のように表される。 i ℏ ∂ Ψ ( r , t ) ∂ t = ( − ℏ 2 2 m ∇ 2 + V ( r ) + g | Ψ ( r , t ) | 2 ) Ψ ( r , t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi ({\boldsymbol {r}},t)}{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )+g\vert \Psi ({\boldsymbol {r}},t)\vert ^{2}\right)\Psi ({\boldsymbol {r}},t)} 時間に依存するグロス＝ピタエフスキー方程式は、ボース＝アインシュタイン凝縮体の動力学を記述する。時間に依存するグロス＝ピタエフスキー方程式はポテンシャルに捕獲された気体の集団モードの研究などで用いられる。
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