方程式の詳細
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/26 15:08 UTC 版)
「オイラー＝ラグランジュ方程式」の記事における「方程式の詳細」の解説
以上ではオイラー＝ラグランジュ方程式の物理学的な側面を説明したが、方程式そのものは物理学とは無関係に定式化できるので、まず物理学的な背景から離れて方程式を説明し、その後で方程式のニュートン力学的な解釈を説明する。 C1 級関数 u : R d → R f ; x = ( x 1 , … , x d ) ↦ u ( x ) = ( u 1 ( x ) , … , u f ( x ) ) {\displaystyle u:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{f};x=(x_{1},\ldots ,x_{d})\mapsto u(x)=(u_{1}(x),\ldots ,u_{f}(x))} を考える。 F : R f × R f d × R d → R ; ( v , m , x ) ↦ F ( v , m , x ) {\displaystyle F:\mathbb {R} ^{f}\times \mathbb {R} ^{fd}\times \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ;(v,m,x)\mapsto F(v,m,x)} としたとき、オイラー＝ラグランジュ方程式とは u ( x ) {\displaystyle u(x)} に関する以下の連立偏微分方程式のことである。 ∂ F ∂ v i ( u ( x ) , ∂ u ( x ) , x ) − ∂ ∂ x μ ( ∂ F ∂ m i , μ ( u ( x ) , ∂ u ( x ) , x ) ) = 0 ( i = 1 , … , f ) {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial v_{i}}}(u(x),\partial u(x),x)-{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\left({\frac {\partial F}{\partial m_{i,\mu }}}(u(x),\partial u(x),x)\right)=0\quad (i=1,\ldots ,f)} ここで ∂ u ( x ) {\displaystyle \partial u(x)} は x による偏微分 ∂ u ( x ) = { ∂ u i ∂ x μ } 1 ≤ i ≤ f , 1 ≤ μ ≤ d {\displaystyle \partial u(x)=\left\{{\frac {\partial u_{i}}{\partial x^{\mu }}}\right\}_{1\leq i\leq f,1\leq \mu \leq d}} を表す。 なお通常は記号を疎漏に用い、上の方程式を ∂ F ∂ u i ( u ( x ) , ∂ u ( x ) , x ) − ∂ ∂ x μ ( ∂ F ∂ ( ∂ μ u i ) ( u ( x ) , ∂ u ( x ) , x ) ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial u_{i}}}(u(x),\partial u(x),x)-{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\left({\frac {\partial F}{\partial (\partial _{\mu }u_{i})}}(u(x),\partial u(x),x)\right)=0} と表記する事が多い。この表記では F に代入される値としての u i , ∂ μ u i {\displaystyle u_{i},\partial _{\mu }u_{i}} がF の変数としての v i , m i , μ {\displaystyle v_{i},m_{i,\mu }} と混用されている。 さらにベクトル表記により f 個の式を一括して ∂ F ∂ u ( u ( x ) , ∂ u ( x ) , x ) − ∇ ⋅ ( ∂ F ∂ ( ∇ u ) ( u ( x ) , ∂ u ( x ) , x ) ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial {\boldsymbol {u}}}}(u(x),\partial u(x),x)-\nabla \cdot \left({\frac {\partial F}{\partial (\nabla {\boldsymbol {u}})}}(u(x),\partial u(x),x)\right)=0} とも書き表す。
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