方程式で定義された直線
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/14 05:43 UTC 版)
「点と直線の距離」の記事における「方程式で定義された直線」の解説
ax + by + c = 0の形の方程式により平面上の直線が与えられた場合(但し a, b, c は実数の定数で a, b は非零である)、点 (x0, y0) と直線の距離は distance ( a x + b y + c = 0 , ( x 0 , y 0 ) ) = | a x 0 + b y 0 + c | a 2 + b 2 {\displaystyle \operatorname {distance} (ax+by+c=0,(x_{0},y_{0}))={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}} となる:p.14。また直線上の点で、(x0, y0) に最も近い点の座標は以下で与えられる: x = b ( b x 0 − a y 0 ) − a c a 2 + b 2 and y = a ( − b x 0 + a y 0 ) − b c a 2 + b 2 . {\displaystyle x={\frac {b(bx_{0}-ay_{0})-ac}{a^{2}+b^{2}}}{\text{ and }}y={\frac {a(-bx_{0}+ay_{0})-bc}{a^{2}+b^{2}}}.} 軸に平行な直線 一般の直線の方程式 ax + by + c = 0 について、c が 0 でない限り a と b がともに 0 になることはない。またそのような場合、方程式はもはやどんな直線も定めない。もし a = 0, b ≠ 0 のときには直線は x 軸に平行で、方程式は y = −c/b となる。この直線と点 (x0, y0) の距離は、上の等式にあてはめることにより長さ |y0 − (−c/b)| = |by0 + c|/|b| の x 軸に垂直な線分から得られる。同様に x 軸に垂直な直線 (b = 0) と点 (x0, y0) との距離も、長さ|ax0 + c|/|a| の x 軸に平行な線分から得られる。
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