マクローリン級数の一覧
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/01 05:44 UTC 版)
「テイラー展開」の記事における「マクローリン級数の一覧」の解説
いくつかの重要な関数のテイラー展開を以下に示す。これらはすべて複素解析的な関数であり、複素変数であると考えても成り立つ。xについてのforの範囲外の実数をxに代入したら発散する（ただし、元の関数が収束することもある）。 なお、tan(x), csc(x), cot(x), tanh(x) の展開に現われる Bk 、二項展開の ( α n ) {\displaystyle \textstyle {\binom {\alpha }{n}}} 、sec(x) の展開に現われる Ek はそれぞれベルヌーイ数、二項係数、オイラー数である。また、f −1(x) は f (x) の逆関数であるとする。 多項式 多項式をマクローリン展開したものは元の多項式自身である。 指数関数 e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! for all x {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\quad {\mbox{ for all }}x} 自然対数 log ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n x n for all | x | < 1 {\displaystyle \log(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}\quad {\mbox{ for all }}|x|<1} log ( 1 − x ) = − ∑ n = 1 ∞ x n n for | x | < 1 {\displaystyle \log(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}\quad {\text{ for }}|x|<1} 幾何級数 1 1 − x = ∑ n = 0 ∞ x n for all | x | < 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}\quad {\mbox{for all }}|x|<1} 1 ( 1 − x ) 2 = ∑ n = 1 ∞ n x n − 1 for | x | < 1 {\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}\quad {\text{ for }}|x|<1\!} x ( 1 − x ) 2 = ∑ n = 0 ∞ n x n for | x | < 1 {\displaystyle {\frac {x}{(1-x)^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }nx^{n}\quad {\text{ for }}|x|<1\!} 2 ( 1 − x ) 3 = ∑ n = 2 ∞ ( n − 1 ) n x n − 2 for | x | < 1 {\displaystyle {\frac {2}{(1-x)^{3}}}=\sum _{n=2}^{\infty }(n-1)nx^{n-2}\quad {\text{ for }}|x|<1\!} 2 x 2 ( 1 − x ) 3 = ∑ n = 0 ∞ ( n − 1 ) n x n for | x | < 1 {\displaystyle {\frac {2x^{2}}{(1-x)^{3}}}=\sum _{n=0}^{\infty }(n-1)nx^{n}\quad {\text{ for }}|x|<1\!} 二項定理 ( 1 + x ) α = ∑ n = 0 ∞ ( α n ) x n for all | x | < 1 and any complex α {\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n}\quad {\mbox{for all }}|x|<1{\mbox{ and any complex }}\alpha } 三角関数 sin x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 for all x {\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ for all }}x} cos x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n for all x {\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{ for all }}x} tan x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( − 4 ) n ( 1 − 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n − 1 for | x | < π 2 {\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad {\mbox{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}} csc x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 − 2 2 n ) B 2 n ( 2 n ) ! x 2 n − 1 for 0 < | x | < π {\displaystyle \csc x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2-2^{2n})B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad {\mbox{ for }}0<|x|<\pi } sec x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n E 2 n ( 2 n ) ! x 2 n for | x | < π 2 {\displaystyle \sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}} cot x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 2 n B 2 n ( 2 n ) ! x 2 n − 1 for 0 < | x | < π {\displaystyle \cot x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad {\mbox{ for }}0<|x|<\pi } sin − 1 x = ∑ n = 0 ∞ ( 2 n ) ! 4 n ( n ! ) 2 ( 2 n + 1 ) x 2 n + 1 for | x | < 1 {\displaystyle \sin ^{-1}x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ for }}|x|<1} cos − 1 x = π 2 − ∑ n = 0 ∞ ( 2 n ) ! 4 n ( n ! ) 2 ( 2 n + 1 ) x 2 n + 1 for | x | < 1 {\displaystyle \cos ^{-1}x={\pi \over 2}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ for }}|x|<1} tan − 1 x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 x 2 n + 1 for | x | < 1 {\displaystyle \tan ^{-1}x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ for }}|x|<1} 双曲線関数 sinh x = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 for all x {\displaystyle \sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ for all }}x} cosh x = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n ) ! x 2 n for all x {\displaystyle \cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{ for all }}x} tanh x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n 4 n ( 4 n − 1 ) ( 2 n ) ! x 2 n − 1 for | x | < π 2 {\displaystyle \tanh x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad {\mbox{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}} sinh − 1 x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! 4 n ( n ! ) 2 ( 2 n + 1 ) x 2 n + 1 for | x | < 1 {\displaystyle \sinh ^{-1}x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ for }}|x|<1} tanh − 1 x = ∑ n = 0 ∞ 1 2 n + 1 x 2 n + 1 for | x | < 1 {\displaystyle \tanh ^{-1}x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ for }}|x|<1} ランベルトのW関数 W 0 ( x ) = ∑ n = 1 ∞ ( − n ) n − 1 n ! x n for | x | < 1 e {\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}\quad {\mbox{ for }}|x|<{\frac {1}{e}}}
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