ボーア・モレルップの定理 (Bohr–Mollerup Theorem) は、ガンマ関数 を特徴づける定理である。デンマーク人 数学者のハラルト・ボーア とヨハネス・モレルップ（英語版 ） により証明された。この定理によると、正の実軸上で対数凸 であり、
G
(
x
+
1
)
=
x
G
(
x
)
{\displaystyle G(x+1)=xG(x)}
G
(
1
)
=
1
{\displaystyle G(1)=1}
[1]
証明1 初めにガンマ関数が正の実軸上で対数凸であることを確かめる。ワイエルシュトラスの乗積表示から
Γ
(
x
)
=
e
−
γ
x
x
∏
n
=
1
∞
n
n
+
x
e
x
/
n
log
Γ
(
x
)
=
−
γ
x
−
log
x
+
∑
n
=
1
∞
(
log
n
−
log
(
n
+
x
)
+
x
n
)
d
d
x
log
Γ
(
x
)
=
−
γ
−
1
x
+
∑
n
=
1
∞
(
−
1
n
+
x
+
1
n
)
d
2
d
x
2
log
Γ
(
x
)
=
1
x
2
+
∑
n
=
1
∞
1
(
n
+
x
)
2
=
∑
n
=
0
∞
1
(
n
+
x
)
2
>
0
(
x
>
0
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&\Gamma (x)={\frac {e^{-{\gamma }x}}{x}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{n+x}}e^{x/n}\\&\log \Gamma (x)=-{\gamma }x-\log {x}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\log {n}-\log {(n+x)}+{\frac {x}{n}}\right)\\&{\frac {d}{dx}}\log \Gamma (x)=-{\gamma }-{\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(-{\frac {1}{n+x}}+{\frac {1}{n}}\right)\\&{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\log \Gamma (x)={\frac {1}{x^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+x)^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+x)^{2}}}>0\qquad (x>0)\\\end{aligned}}}
であり、対数の二階微分が正であるからガンマ関数は正の実軸上で対数凸である。また、
Γ
(
x
+
1
)
=
x
Γ
(
x
)
{\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}
Γ
(
1
)
=
1
{\displaystyle \Gamma (1)=1}
G
(
x
)
{\displaystyle G(x)}
G
(
x
)
=
Γ
(
x
)
{\displaystyle G(x)=\Gamma (x)}
f
(
x
)
=
log
Γ
(
x
)
−
log
G
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\log {\Gamma (x)}-\log {G(x)}}
と定義する。
G
(
x
+
1
)
=
x
G
(
x
)
{\displaystyle G(x+1)=xG(x)}
f
(
x
+
1
)
=
log
Γ
(
x
+
1
)
−
log
G
(
x
+
1
)
=
log
x
+
log
Γ
(
x
)
−
log
x
−
log
G
(
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x+1)&=\log {\Gamma (x+1)}-\log {G(x+1)}\\&=\log {x}+\log {\Gamma (x)}-\log {x}-\log {G(x)}\\&=f(x)\\\end{aligned}}}
であり、
n
{\displaystyle n}
f
(
x
+
n
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle f(x+n)=f(x)}
G
(
1
)
=
Γ
(
1
)
=
1
{\displaystyle G(1)=\Gamma (1)=1}
f
(
n
)
=
0
{\displaystyle f(n)=0}
背理法 を用い、
f
(
x
0
)
≠
0
{\displaystyle f(x_{0})\neq 0}
f
(
⌊
x
0
⌋
)
=
f
(
⌈
x
0
⌉
)
=
0
{\displaystyle f(\lfloor {x_{0}}\rfloor )=f(\lceil {x_{0}}\rceil )=0}
f
(
x
0
)
≠
0
{\displaystyle f(x_{0})\neq 0}
f
′
(
x
1
)
>
0
,
f
′
(
x
2
)
<
0
{\displaystyle f'(x_{1})>0,f'(x_{2})<0}
f
″
(
x
3
)
=
ϵ
>
0
{\displaystyle f''(x_{3})=\epsilon >0}
f
″
(
x
3
)
=
f
″
(
x
3
+
n
)
=
d
2
d
x
2
log
Γ
(
n
+
x
3
)
−
d
2
d
x
2
log
G
(
n
+
x
3
)
=
ϵ
{\displaystyle f''(x_{3})=f''(x_{3}+n)={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\log {\Gamma (n+x_{3})}-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\log {G(n+x_{3})}=\epsilon }
を意味する。しかし、
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
d
2
d
x
2
log
Γ
(
n
+
x
)
→
0
{\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\log \Gamma (n+x)\to 0}
d
2
d
x
2
log
G
(
n
+
x
)
→
−
ϵ
<
0
{\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\log {G(n+x)}\to -\epsilon <0}
G
(
x
)
{\displaystyle G(x)}
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle f(x)=0}
G
(
x
)
=
Γ
(
x
)
{\displaystyle G(x)=\Gamma (x)}
x
>
0
{\displaystyle x>0}
G
(
x
)
=
Γ
(
x
)
{\displaystyle G(x)=\Gamma (x)}
一致の定理 により正則な定義域全体で
G
(
z
)
=
Γ
(
z
)
{\displaystyle G(z)=\Gamma (z)}
証明2 初めにガンマ関数が正の実軸上で対数凸であることを確かめる。ヘルダーの不等式 により、
Γ
(
c
x
+
(
1
−
c
)
y
)
=
∫
0
∞
t
c
x
+
(
1
−
c
)
y
−
1
e
−
t
d
t
=
∫
0
∞
(
t
x
−
1
e
−
t
)
c
(
t
y
−
1
e
−
t
)
1
−
c
d
t
≤
(
∫
0
∞
t
x
−
1
e
−
t
d
t
)
c
(
∫
0
∞
t
y
−
1
e
−
t
d
t
)
1
−
c
(
x
≥
0
,
y
≥
0
,
0
≤
c
≤
1
)
=
(
Γ
(
x
)
)
c
(
Γ
(
y
)
)
1
−
c
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (cx+(1-c)y)&=\int _{0}^{\infty }{t^{cx+(1-c)y-1}e^{-t}}dt\\&=\int _{0}^{\infty }{(t^{x-1}e^{-t})^{c}(t^{y-1}e^{-t})^{1-c}}dt\\&\leq \left(\int _{0}^{\infty }{t^{x-1}e^{-t}}dt\right)^{c}\left(\int _{0}^{\infty }{t^{y-1}e^{-t}}dt\right)^{1-c}\qquad (x{\geq }0,y{\geq }0,0{\leq }c{\leq }1)\\&={\big (}\Gamma (x){\big )}^{c}{\big (}\Gamma (y){\big )}^{1-c}\\\end{aligned}}}
であり、対数 をとると
log
Γ
(
c
x
+
(
1
−
c
)
y
)
≤
c
log
Γ
(
x
)
+
(
1
−
c
)
log
Γ
(
y
)
{\displaystyle {\log \Gamma (cx+(1-c)y)}\leq {c\log \Gamma (x)+(1-c)\log \Gamma (y)}}
であるから、故にガンマ関数は対数凸である。また、
Γ
(
x
+
1
)
=
x
Γ
(
x
)
{\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}
Γ
(
1
)
=
1
{\displaystyle \Gamma (1)=1}
G
(
x
)
{\displaystyle G(x)}
G
(
x
)
=
Γ
(
x
)
{\displaystyle G(x)=\Gamma (x)}
G
(
x
)
{\displaystyle G(x)}
log
G
(
x
+
c
)
≤
(
1
−
c
)
log
G
(
x
)
+
c
log
G
(
x
+
1
)
(
x
≥
1
,
0
≤
c
≤
1
)
G
(
x
+
c
)
≤
G
(
x
)
1
−
c
G
(
x
+
1
)
c
=
G
(
x
)
x
c
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\log {G(x+c)}}\leq {(1-c)\log {G(x)}+c\log {G(x+1)}}\qquad (x{\geq }1,0{\leq }c{\leq }1)\\&{G(x+c)}\leq {G(x)^{1-c}G(x+1)^{c}=G(x)x^{c}}\\\end{aligned}}}
である。また、
log
G
(
x
+
1
)
≤
c
log
G
(
x
+
c
)
+
(
1
−
c
)
log
G
(
x
+
1
+
c
)
(
x
≥
1
,
0
≤
c
≤
1
)
G
(
x
+
1
)
≤
G
(
x
+
c
)
c
G
(
x
+
1
+
c
)
1
−
c
=
G
(
x
+
c
)
(
x
+
c
)
1
−
c
G
(
x
+
1
)
(
x
+
c
)
−
(
1
−
c
)
≤
G
(
x
+
c
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\log {G(x+1)}}\leq {c\log {G(x+c)}+(1-c)\log {G(x+1+c)}}\qquad (x{\geq }1,0{\leq }c{\leq }1)\\&{G(x+1)}\leq {G(x+c)^{c}G(x+1+c)^{1-c}=G(x+c)(x+c)^{1-c}}\\&{G(x+1)(x+c)^{-(1-c)}}\leq {G(x+c)}\\\end{aligned}}}
であるから、合わせて
G
(
x
+
1
)
(
x
+
c
)
−
(
1
−
c
)
≤
G
(
x
+
c
)
≤
G
(
x
)
x
c
(
x
≥
1
,
0
≤
c
≤
1
)
G
(
x
)
x
c
(
x
x
+
c
)
1
−
c
≤
G
(
x
+
c
)
≤
G
(
x
)
x
c
{\displaystyle {\begin{aligned}&G(x+1)(x+c)^{-(1-c)}\leq {G(x+c)}\leq {G(x)x^{c}}\qquad (x{\geq }1,0{\leq }c{\leq }1)\\&G(x)x^{c}\left({\frac {x}{x+c}}\right)^{1-c}\leq {G(x+c)}\leq {G(x)x^{c}}\\\end{aligned}}}
となる。
x
=
n
{\displaystyle x=n}
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
(
n
−
1
)
!
n
c
(
n
n
+
c
)
1
−
c
≤
G
(
c
)
∏
k
=
0
n
−
1
(
c
+
k
)
≤
(
n
−
1
)
!
n
c
(
0
≤
c
≤
1
)
G
(
c
)
=
lim
n
→
∞
(
n
−
1
)
!
n
c
∏
k
=
0
n
−
1
(
k
+
c
)
=
lim
n
→
∞
n
!
n
c
∏
k
=
0
n
(
k
+
c
)
=
Γ
(
c
)
(
0
≤
c
≤
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&{(n-1)!n^{c}\left({\frac {n}{n+c}}\right)^{1-c}}\leq {G(c)}\prod _{k=0}^{n-1}{(c+k)}\leq {(n-1)!n^{c}}\qquad (0{\leq }c{\leq }1)\\&G(c)=\lim _{n\to \infty }{\frac {(n-1)!n^{c}}{\prod _{k=0}^{n-1}{(k+c)}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!n^{c}}{\prod _{k=0}^{n}{(k+c)}}}=\Gamma (c)\qquad (0{\leq }c{\leq }1)\\\end{aligned}}}
を得る。以上により、
0
≤
x
≤
1
{\displaystyle 0{\leq }x{\leq }1}
G
(
x
)
=
Γ
(
x
)
{\displaystyle G(x)=\Gamma (x)}
一致の定理 により正則な定義域全体で
G
(
z
)
=
Γ
(
z
)
{\displaystyle G(z)=\Gamma (z)}
出典 参考文献 Artin, Emil (1964). The Gamma Function. Holt, Rinehart, Winston.
Mollerup, J., Bohr, H. (1922). Lærebog i Kompleks Analyse vol. III, Copenhagen. (Textbook in Complex Analysis) 
