証明2
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/13 02:59 UTC 版)
ΔABCの各頂点から直線lに垂線をおろす。すると、3組の相似な直角三角形が現れるので、その相似比を考えればよい。
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証明2
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/26 08:33 UTC 版)
背理法を用いる。ある正の整数jが B r {\displaystyle B_{r}} と B s {\displaystyle B_{s}} の両方に含まれるとする。つまり、2つの整数kとmが存在し、 j = ⌊ k r ⌋ = ⌊ m s ⌋ {\displaystyle j=\left\lfloor {kr}\right\rfloor =\left\lfloor {ms}\right\rfloor } を満たすとする。ここで、床関数の定義により、 j ≤ k r < j + 1 {\displaystyle j\leq kr<j+1} j ≤ m s < j + 1 {\displaystyle j\leq ms<j+1} である。非ゼロのjに対して、rとsは無理数であるため、等号は成り立たず、 j < k r < j + 1 {\displaystyle j<kr<j+1} j < m s < j + 1 {\displaystyle j<ms<j+1} である。各式をrとsで割ることにより、 j r < k < j + 1 r {\displaystyle {j \over r}<k<{j+1 \over r}} j s < m < j + 1 s {\displaystyle {j \over s}<m<{j+1 \over s}} を得る。この2式を加えると、 j < k + m < j + 1 {\displaystyle j<k+m<j+1} となるが、kとmは整数であるため、k+mも整数となり、矛盾が生じる。したがって、 B r {\displaystyle B_{r}} と B s {\displaystyle B_{s}} の両方の集合に含まれる正の整数は存在しない。 次に、どちらの集合にも含まれないjを仮定すると、 k r < j < j + 1 ≤ ( k + 1 ) r {\displaystyle kr<j<j+1\leq (k+1)r} m s < j < j + 1 ≤ ( m + 1 ) s {\displaystyle ms<j<j+1\leq (m+1)s} が成立する。j+1は非ゼロであり、rとsは無理数であるため、等号は成り立たず、 k r < j < j + 1 < ( k + 1 ) r {\displaystyle kr<j<j+1<(k+1)r} m s < j < j + 1 < ( m + 1 ) s {\displaystyle ms<j<j+1<(m+1)s} である。したがって、 k < j r < j + 1 r < k + 1 {\displaystyle k<{j \over r}<{j+1 \over r}<k+1} m < j s < j + 1 s < m + 1 {\displaystyle m<{j \over s}<{j+1 \over s}<m+1} を得る。この2式を加えると、 k + m < j < j + 1 < k + m + 2 {\displaystyle k+m<j<j+1<k+m+2} となり、矛盾する（そのようなkとmは存在しない）よって、全ての正の整数はどちらかの集合に含まれる。 したがって、全ての正の整数は、 B r {\displaystyle B_{r}} または B s {\displaystyle B_{s}} のどちらかに含まれ、両方に含まれることはない。
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証明2
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/04 18:48 UTC 版)
「ボーア・モレルップの定理」の記事における「証明2」の解説
初めにガンマ関数が正の実軸上で対数凸であることを確かめる。ヘルダーの不等式により、 Γ ( c x + ( 1 − c ) y ) = ∫ 0 ∞ t c x + ( 1 − c ) y − 1 e − t d t = ∫ 0 ∞ ( t x − 1 e − t ) c ( t y − 1 e − t ) 1 − c d t ≤ ( ∫ 0 ∞ t x − 1 e − t d t ) c ( ∫ 0 ∞ t y − 1 e − t d t ) 1 − c ( x ≥ 0 , y ≥ 0 , 0 ≤ c ≤ 1 ) = ( Γ ( x ) ) c ( Γ ( y ) ) 1 − c {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (cx+(1-c)y)&=\int _{0}^{\infty }{t^{cx+(1-c)y-1}e^{-t}}dt\\&=\int _{0}^{\infty }{(t^{x-1}e^{-t})^{c}(t^{y-1}e^{-t})^{1-c}}dt\\&\leq \left(\int _{0}^{\infty }{t^{x-1}e^{-t}}dt\right)^{c}\left(\int _{0}^{\infty }{t^{y-1}e^{-t}}dt\right)^{1-c}\qquad (x{\geq }0,y{\geq }0,0{\leq }c{\leq }1)\\&={\big (}\Gamma (x){\big )}^{c}{\big (}\Gamma (y){\big )}^{1-c}\\\end{aligned}}} であり、対数をとると log Γ ( c x + ( 1 − c ) y ) ≤ c log Γ ( x ) + ( 1 − c ) log Γ ( y ) {\displaystyle {\log \Gamma (cx+(1-c)y)}\leq {c\log \Gamma (x)+(1-c)\log \Gamma (y)}} であるから、故にガンマ関数は対数凸である。また、 Γ ( x + 1 ) = x Γ ( x ) {\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)} と Γ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \Gamma (1)=1} もガンマ関数の特徴として周知のものであるから、ガンマ関数はボーア・モレルップの定理の要求を充足する。次に未知の関数 G ( x ) {\displaystyle G(x)} がボーア・モレルップの定理の要求を充足するものと仮定して G ( x ) = Γ ( x ) {\displaystyle G(x)=\Gamma (x)} であることを証明する。 G ( x ) {\displaystyle G(x)} は実軸上で対数凸であるから log G ( x + c ) ≤ ( 1 − c ) log G ( x ) + c log G ( x + 1 ) ( x ≥ 1 , 0 ≤ c ≤ 1 ) G ( x + c ) ≤ G ( x ) 1 − c G ( x + 1 ) c = G ( x ) x c {\displaystyle {\begin{aligned}&{\log {G(x+c)}}\leq {(1-c)\log {G(x)}+c\log {G(x+1)}}\qquad (x{\geq }1,0{\leq }c{\leq }1)\\&{G(x+c)}\leq {G(x)^{1-c}G(x+1)^{c}=G(x)x^{c}}\\\end{aligned}}} である。また、 log G ( x + 1 ) ≤ c log G ( x + c ) + ( 1 − c ) log G ( x + 1 + c ) ( x ≥ 1 , 0 ≤ c ≤ 1 ) G ( x + 1 ) ≤ G ( x + c ) c G ( x + 1 + c ) 1 − c = G ( x + c ) ( x + c ) 1 − c G ( x + 1 ) ( x + c ) − ( 1 − c ) ≤ G ( x + c ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{\log {G(x+1)}}\leq {c\log {G(x+c)}+(1-c)\log {G(x+1+c)}}\qquad (x{\geq }1,0{\leq }c{\leq }1)\\&{G(x+1)}\leq {G(x+c)^{c}G(x+1+c)^{1-c}=G(x+c)(x+c)^{1-c}}\\&{G(x+1)(x+c)^{-(1-c)}}\leq {G(x+c)}\\\end{aligned}}} であるから、合わせて G ( x + 1 ) ( x + c ) − ( 1 − c ) ≤ G ( x + c ) ≤ G ( x ) x c ( x ≥ 1 , 0 ≤ c ≤ 1 ) G ( x ) x c ( x x + c ) 1 − c ≤ G ( x + c ) ≤ G ( x ) x c {\displaystyle {\begin{aligned}&G(x+1)(x+c)^{-(1-c)}\leq {G(x+c)}\leq {G(x)x^{c}}\qquad (x{\geq }1,0{\leq }c{\leq }1)\\&G(x)x^{c}\left({\frac {x}{x+c}}\right)^{1-c}\leq {G(x+c)}\leq {G(x)x^{c}}\\\end{aligned}}} となる。 x = n {\displaystyle x=n} を整数とし、 n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } とすれば不等式の両端が一致して ( n − 1 ) ! n c ( n n + c ) 1 − c ≤ G ( c ) ∏ k = 0 n − 1 ( c + k ) ≤ ( n − 1 ) ! n c ( 0 ≤ c ≤ 1 ) G ( c ) = lim n → ∞ ( n − 1 ) ! n c ∏ k = 0 n − 1 ( k + c ) = lim n → ∞ n ! n c ∏ k = 0 n ( k + c ) = Γ ( c ) ( 0 ≤ c ≤ 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{(n-1)!n^{c}\left({\frac {n}{n+c}}\right)^{1-c}}\leq {G(c)}\prod _{k=0}^{n-1}{(c+k)}\leq {(n-1)!n^{c}}\qquad (0{\leq }c{\leq }1)\\&G(c)=\lim _{n\to \infty }{\frac {(n-1)!n^{c}}{\prod _{k=0}^{n-1}{(k+c)}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!n^{c}}{\prod _{k=0}^{n}{(k+c)}}}=\Gamma (c)\qquad (0{\leq }c{\leq }1)\\\end{aligned}}} を得る。以上により、 0 ≤ x ≤ 1 {\displaystyle 0{\leq }x{\leq }1} で G ( x ) = Γ ( x ) {\displaystyle G(x)=\Gamma (x)} が示されたが、一致の定理により正則な定義域全体で G ( z ) = Γ ( z ) {\displaystyle G(z)=\Gamma (z)} となる。
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