ベクトルによる証明（1）
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/04/03 17:40 UTC 版)
「アポロニウスの円」の記事における「ベクトルによる証明（1）」の解説
m, n を互いに異なる正の実数とする。線分ABを m ： n に内分する点を Q、外分する点をRとすると、 P Q → = n P A → + m P B → n + m , P R → = n P A → − m P B → n − m . {\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {PQ} }}={\frac {n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}+m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{n+m}},\ {\overrightarrow {\mathrm {PR} }}={\frac {n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{n-m}}.} このとき、 P A : P B = m : n . {\displaystyle \mathrm {PA} :\mathrm {PB} =m:n.} ⇔ n | P A → | = m | P B → | . {\displaystyle \Leftrightarrow n|{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}|=m|{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}|.} ⇔ n 2 | P A → | 2 = m 2 | P B → | 2 . {\displaystyle \Leftrightarrow n^{2}|{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}|^{2}=m^{2}|{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}|^{2}.} ⇔ ( n P A → + m P B → ) ⋅ ( n P A → − m P B → ) = 0. {\displaystyle \Leftrightarrow (n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}+m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }})\cdot (n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }})=0.} ⇔ n P A → + m P B → n + m ⋅ n P A → − m P B → n − m = 0. {\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}+m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{n+m}}\cdot {\frac {n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{n-m}}=0.} ⇔ P Q → ⋅ P R → = 0. {\displaystyle \Leftrightarrow {\overrightarrow {\mathrm {PQ} }}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {PR} }}=0.} ⇔ P Q → = 0 → ∨ P R → = 0 → ∨ P Q → ⊥ P R → . {\displaystyle \Leftrightarrow {\overrightarrow {\mathrm {PQ} }}={\vec {0}}\vee {\overrightarrow {\mathrm {PR} }}={\vec {0}}\vee {\overrightarrow {\mathrm {PQ} }}\perp {\overrightarrow {\mathrm {PR} }}.} ⇔ P = Q ∨ P = R ∨ ∠ Q P R = 90 ∘ . {\displaystyle \Leftrightarrow \mathrm {P} =\mathrm {Q} \vee \mathrm {P} =\mathrm {R} \vee \angle {\mathrm {QPR} }=90^{\circ }.} したがって、点Pの軌跡は線分QRを直径とする円になる。
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ベクトルによる証明（2）
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/04/03 17:40 UTC 版)
「アポロニウスの円」の記事における「ベクトルによる証明（2）」の解説
線分QRの中点をOとすると、 O Q → = − 1 2 Q R → , O R → = 1 2 Q R → . {\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {OQ} }}=-{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {\mathrm {QR} }},\ {\overrightarrow {\mathrm {OR} }}={\frac {1}{2}}{\overrightarrow {\mathrm {QR} }}.} したがって、 P Q → ⋅ P R → = 0. {\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {PQ} }}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {PR} }}=0.} ⇔ ( P O → + O Q → ) ⋅ ( P O → + O R → ) = 0. {\displaystyle \Leftrightarrow ({\overrightarrow {\mathrm {PO} }}+{\overrightarrow {\mathrm {OQ} }})\cdot ({\overrightarrow {\mathrm {PO} }}+{\overrightarrow {\mathrm {OR} }})=0.} ⇔ ( P O → − 1 2 Q R → ) ⋅ ( P O → + 1 2 Q R → ) = 0. {\displaystyle \Leftrightarrow ({\overrightarrow {\mathrm {PO} }}-{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {\mathrm {QR} }})\cdot ({\overrightarrow {\mathrm {PO} }}+{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {\mathrm {QR} }})=0.} ⇔ | P O → | 2 = ( 1 2 ) 2 | Q R → | 2 . {\displaystyle \Leftrightarrow |{\overrightarrow {\mathrm {PO} }}|^{2}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}|{\overrightarrow {\mathrm {QR} }}|^{2}.} ⇔ P O = 1 2 Q R . {\displaystyle \Leftrightarrow \mathrm {PO} ={\frac {1}{2}}\mathrm {QR} .} これより、点Pの軌跡は線分QRの中点Oを中心とする半径 1 2 Q R {\displaystyle {\frac {1}{2}}\mathrm {QR} } の円、すなわち線分QRを直径とする円になる。
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ベクトルによる証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/09/29 18:17 UTC 版)
O A → , O B → {\displaystyle {\overrightarrow {OA}},\ {\overrightarrow {OB}}} をそれぞれ a , b {\displaystyle {\boldsymbol {a}},\ {\boldsymbol {b}}} と置くと、辺ABの中点がMなので、 O M → , A M → {\displaystyle {\overrightarrow {OM}},\ {\overrightarrow {AM}}} はそれぞれ 1 2 ( a + b ) , 1 2 ( b − a ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\boldsymbol {a}}+{\boldsymbol {b}}\right),\ {\frac {1}{2}}\left({\boldsymbol {b}}-{\boldsymbol {a}}\right)} となる。 したがって、 O M 2 = 1 4 ‖ a + b ‖ 2 = 1 4 ( ‖ a ‖ 2 + 2 ⟨ a , b ⟩ + ‖ b ‖ 2 ) , {\displaystyle OM^{2}={\frac {1}{4}}\left\|{\boldsymbol {a}}+{\boldsymbol {b}}\right\|^{2}={\frac {1}{4}}\left(\left\|{\boldsymbol {a}}\right\|^{2}+2\left\langle {\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}\right\rangle +\left\|{\boldsymbol {b}}\right\|^{2}\right),} A M 2 = 1 4 ‖ b − a ‖ 2 = 1 4 ( ‖ a ‖ 2 − 2 ⟨ a , b ⟩ + ‖ b ‖ 2 ) . {\displaystyle AM^{2}={\frac {1}{4}}\left\|{\boldsymbol {b}}-{\boldsymbol {a}}\right\|^{2}={\frac {1}{4}}\left(\left\|{\boldsymbol {a}}\right\|^{2}-2\left\langle {\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}\right\rangle +\left\|{\boldsymbol {b}}\right\|^{2}\right).} これより、辺々を加えて2倍すると、 2 ( O M 2 + A M 2 ) = ‖ a ‖ 2 + ‖ b ‖ 2 = O A 2 + O B 2 . {\displaystyle 2\left(OM^{2}+AM^{2}\right)=\left\|{\boldsymbol {a}}\right\|^{2}+\left\|{\boldsymbol {b}}\right\|^{2}=OA^{2}+OB^{2}.} Q.E.D.
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