特異点の分類
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/09/11 07:13 UTC 版)
特異点には、曲線がそこで自己交叉を持つ多重点や、例えば方程式 x3 = y2 の表す曲線の (0, 0) に見るような様々な種類の尖点がある。 曲線 C は高々有限個の特異点を持つ。特異点の数が零ならば、曲線は滑らかあるいは非特異であると言う。一般的には、この定義は代数閉体上で C が射影空間にあるとき（つまり、代数幾何学的な意味で「完備」のとき）にいうものと理解される。例えば、方程式 y − x3 = 0 の定める曲線は特異曲線で、無限遠点に特異点（尖点）を持つものと考える。 特異点は幾つかの不変性の意味で分類される。多重点 P の重複度 m は、P において f の m − 1 階までの微分係数がすべて消えているような最大の整数として定義される（曲線の、P における直線との間の交点数の最小値としても定義できる）。直観的に、特異点がデルタ不変量 δ を持つのは、それが P において δ 個の常二重点が寄り集まったときに起きる。これをより精確にするには、ブローアップ（英語版）の過程を施していわゆる無限に近い点（英語版）を作り出し、各無限に近い点の重複度を m とするときの m(m − 1)/2 を全ての無限に近い点に関して足し上げたものが δ である。既約かつ被約曲線および点 P に対して、δ を O ~ P / O P {\displaystyle {\widetilde {\mathcal {O}}}_{P}/{\mathcal {O}}_{P}} の長さとして代数的に定義することができる。ただし、 O P {\displaystyle {\mathcal {O}}_{P}} は P における局所環であり、 O ~ P {\displaystyle {\widetilde {\mathcal {O}}}_{P}} はその整閉包である。 特異点のミルナー数 μ は半径 ε の小球上で定義された写像 grad f(x,y)/|grad f(x,y)| の写像度（連続写像の位相的な写像度）に一致する。ここに grad f は f の（複素）勾配ベクトル場である。ミルナー–ユングの公式（英語版）: μ = 2δ − r + 1 は μ と δ および r を結びつける。ここに点 P における分岐数 r は、P における局所既約な分子の数を言う。例えば、常尖点において r = 1 であり常二重点において r = 2 である。m が必ず r 以上であり、P が特異であるための必要十分条件が m が 2 以上となること、さらに言えば δ は m(m - 1)/2 以上であることを注意しておく。 全ての特異点におけるデルタ不変量を計算することで、曲線の種数 g を決定することができる。すなわち、曲線の次数を d とすれば g = 1 2 ( d − 1 ) ( d − 2 ) − ∑ P δ P {\displaystyle g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2)-\sum _{P}\delta _{P}} が成り立つ。ここに和は平面複素射影曲線の特異点 P すべてに亙ってとる。これを種数公式（英語版）という。 特異点に不変量 [m, δ, r]（m: 重複度、δ: デルタ不変量、r: 分岐数）を割り当てるものとすると、常尖点は不変量 [2,1,1] を持つ点であり、常二重点は不変量 [2,1,2] を持つ点であり、常 m-重点は不変量 [m, m(m−1)/2, m] を持つ点である。
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特異点の分類
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/12 15:08 UTC 版)
詳細は「特異点 (数学)」を参照 「確定特異点（英語版）」および「動く特異点」も参照 複素解析は解析的な領域を主として探求する分野であるが、複素関数に特異点がある場合、特異点を含む領域全体に於ける大局的な挙動は特異点に支配される。従って、特異点の位置や性質を研究することは複素解析の範疇に含まれる。 特異点には孤立したものと孤立しないものとがあるが、複素解析の対象となるのは主に孤立した特異点である。
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