実の場合と複素の場合の定義の一貫性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/09/23 04:18 UTC 版)
「行列の定値性」の記事における「実の場合と複素の場合の定義の一貫性」の解説
任意の実行列は複素行列と見ることもできるから、その場合に両クラスに対する「正定値」の定義は一致しているべきである。 複素行列に対しては、「M が正定値であるとは、任意の非零複素列ベクトル z に対して z∗Mz が必ず正の実数となること」と述べる定義が最も一般的であり、この条件から M がエルミートである（つまり自身の転置が自身の共軛に等しい）ことが導かれる。それを見るために、行列 A = (M+M∗)/2 および B = (M−M∗)/(2i) を考えると、M = A+iB かつ z∗Mz = z∗Az + iz∗Bz であり、行列 A および B はエルミートだから z∗Az および z∗Bz はそれぞれが実数値である。ここで、 z∗Mz が実数となるならば z∗Bz は任意の z に対して零とならねばならず、従て B は零行列であり、M = A がエルミートであることが示される。 この定義の下で、正定値実行列 M はエルミート、したがって対称であり、また二次形式 zTMz は任意の非零実ベクトル z に対して正となる。しかし、最後の「二次形式が常に正」という条件のみでは M が正定値であるとするには十分ではない。たとえば、 M = ( 1 1 − 1 1 ) {\displaystyle M={\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}}} とすると、任意の実ベクトル z = (a,b) に対して、zTMz = (a−b)a + (a+b)b = a2 + b2 は z が零でない限り常に正であるが、しかし複素ベクトル z = (1,i) に対して z∗Mz = 2 + 2i は実数ではないから、従って M は正定値ではない。 他方、対称実行列 M に対してならば、条件「任意の非零実ベクトル z に対してzTMz > 0」から複素行列の意味での M の正定値性が導かれる。
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