黄金長方形
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黄金長方形（おうごんちょうほうけい、英: golden rectangle）とは、縦横の長さの比が黄金比、すなわち
黄金長方形と黄金螺旋。 
一辺の長さがフィボナッチ数の正方形を貼り合わせてできる長方形の形は、黄金長方形に収束する。 黄金長方形は自己相似性を持ち、黄金長方形から最大の正方形を除く（もしくは加える）と、残った長方形は元の黄金長方形と相似になる。これを繰り返すと、無数の自己相似な図形が出来ていく。
図のように、正方形の列において角の点を滑らかにつないでいくと、渦巻が出来ていく。この渦巻は、巻貝の貝殻などに見られる対数螺旋の一種であり[注 1]、黄金螺旋と呼ばれる[1]。黄金螺旋は、90度の回転毎にφ倍拡大（縮小）されるため、式では以下のように表される[1][3]。
黄金長方形と渦巻き。 黄金長方形の短辺を斜辺ではない長辺とする、斜辺ではない短辺との比率が2:1である四つの合同な直角三角形を、黄金長方形の内部に配置するができる。これを無数に繰り返すことで、一回の繰り返しごとにφ倍小さくなり、arctan1/2回転する、無数の自己相似な長方形を描くことができ、直角三角形の角の点を結べば渦巻きを描くことができる。
無数の直角三角形の角を結んでできる螺旋は、ピッチが
三つの正多角形と黄金長方形。
正二十面体と黄金長方形。
作図
ピタゴラスの定理より、
黄金長方形では、(長辺 - 短辺) : 短辺 = 短辺 : 長辺 が成り立つことを表した図。
黄金長方形から最大正方形を切り取っていった図（残った長方形も黄金長方形になる）。
黄金数 φ について、φ(φ − 1) = 1 を、面積で表した図。青線が、縦横の長さ 1, φ の黄金長方形2個を表し、右上の赤網目部分が φ(φ − 1)、左下の赤網目部分が 1 を表す。
黄金数 φ について、φ(φ − 1) = 1 を、面積で表した図。縦横の長さが 1, φ の黄金長方形（青線）において、斜線部分が等積となる。また、赤網目部分は √5φ = 1 + φ2 を表している。
互いに合同な直角二等辺三角形を図のように並べると黄金長方形が出来る。
正円とその中心を通る水平並びに傾き２の直線との交点を活用すると図のように黄金長方形（赤・青・緑）を描ける。
幾何学的に或る長方形（灰色）からその長辺または短辺の全長を使い切った黄金長方形を切り取る方法の一例。（青枠または緑枠で示される長方形が黄金長方形となっている。）
「半径２の正円」（緑）と「辺の長さが１とφの黄金長方形」（橙）を活用すると図のように当該正円の円周を２０等分する点を求めることができる。
同一の正円(青)に内接する正五角形(黄)と正六角形(緑)を活用して黄金長方形(橙)を作り出す例
脚注
注釈
出典
- ^ a b c d e f Weisstein, Eric W. "Golden Rectangle". mathworld.wolfram.com (英語). 2025年2月1日閲覧。
- ^ “一般的な名刺のサイズは、なぜ91×55mmなのか？｜東京名刺センター｜東京オフィスサービス”. 2025年2月1日閲覧。
- ^ 金原博昭. “黄金比・黄金二乗比および白銀比・白銀二乗比に基づく対数螺旋”. 2025年2月3日閲覧。
関連項目
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