黄金三角形

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黄金三角形

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黄金三角形。a と b の比は黄金比φに等しい。

黄金三角形（おうごんさんかくけい、英語: Golden triangle）は、長辺と短辺の長さの比 ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$

正十角形に含まれる黄金三角形。

正五角形に対角線を引いてできる正五芒星に含まれる黄金三角形と黄金グノモン。

性質

角度

黄金三角形の頂角の大きさは

${\displaystyle \theta ={\pi \over 5}=36^{\circ }.}$

黄金三角形は対数螺旋に内接する。

前述の通り、黄金三角形の角の比は 2:2:1 である。よって、72度である底角を2等分することで新しい黄金三角形を作ることができ、これを無限回繰り返してできた黄金三角形の頂点をつなぐことによって、対数螺旋を描くことができる^[1][2]。

なお、黄金螺旋とは異なり、黄金螺旋は90度の回転毎に黄金数倍大きくなるが、この対数螺旋は同じ分だけ大きくなるのに108度の回転を要する。すなわち、黄金螺旋は、

${\displaystyle r=\left(\varphi ^{\frac {2}{\pi }}\right)^{\theta }}$

カイト(左)とダーツ(右)。

P3型ペンローズ・タイル。

黄金グノモン

黄金グノモン。等辺と底辺の比は黄金比の逆数1/φに等しい。

黄金グノモン（英語: Golden gnomon）は、等辺と底辺の比が黄金比の逆数${\displaystyle {\frac {1}{\varphi }}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}}$