ピゾ数とは？わかりやすく解説

ピゾ数（ピゾすう、英語: Pisot–Vijayaraghavan number）とは、代数的整実数 $α$ > 1 のうち、全ての共役根（英語版）の絶対値が1未満である数のことである^[1]。ピゾ＝ヴィジャヤラガヴァン数、PV数とも呼ばれる。

定義

代数的整数、つまり整数係数モニック多項式の根のうち、1より大きい実数であり、かつ全ての共役根が、絶対値が1より小さい複素数であるような数をピゾ数という。言い換えれば、全ての共役根が複素平面の単位円の内側にあるような、1より大きい代数的整実数のことである。

例えば、 $x 2 - x - 1 = 0$ の解の一つである黄金数は、 $φ = 1.6180...$ で与えられる1より大きい数であり、その共役根は $1-φ = -0.6180...$ であり絶対値が1未満であるため、ピゾ数である。

同様に、 $x 3 - x - 1 = 0$ の解の一つであるプラスチック数は、 $p = 1.3247...$ で与えられる数1より大きい数であり、その共役根は、 $-0.66236... \pm 0.56228... i$ であり絶対値が1未満であるため、ピゾ数である。

2以上の整数は共役根が存在しないが、ピゾ数である^[2]。

ピゾ数の累乗は、ほとんど整数となる。

あるピゾ数 $α > 1$ の共役根を $α 1, α 2, ..., α n-1$ とする。ピゾ数は代数的整数であり、整数係数モニック多項式の根であるため、解と係数の関係より、 $n$ 個の根からなる基本対称式は全て整数である。したがって、対称式

\alpha ^{m}+\alpha _{1}^{m}+\alpha _{2}^{m}+\cdots +\alpha _{n-1}^{m}

準結晶のX線回折像(正10角形準結晶)

準結晶と共通した構造を持つペンローズ・タイル

整数 $a, b$ について、 $a < 0$ かつ $a - 1 < b < - a - 1$ のとき、二次方程式 $x 2 + ax + b = 0$ の正の実数根はピゾ数である。

ピゾ数	最小多項式	値
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