傍接四角形とは？わかりやすく解説

傍接四角形 $ABCD$

   $ABCD$ の延長辺

   $ABCD$ の傍接円

ユークリッド幾何学において、円に傍接する四角形（英: ex-tangential quadrilateral, exscriptible quadrilateral^[1]）あるいは、傍接四角形^[2]は、すべての延長辺が、四角形の外部にある円に接するような凸四角形である^[3]。この円を excircle（傍接円）、その半径を exradius（傍半径）、中心を excenter （傍心）という。傍心は、四辺形の6つの角の二等分線上に位置する。傍接四角形は、外接四角形に近い関係を持つ。

英語における傍接円の escribed circle^[4]という名称は、傍接円の他に、凸四角形のある1辺と、隣接する2辺の延長辺に接する円を指すこともある。 escribed circleは任意の凸四角形に4つずつ存在するが、excircle は高々1つしか存在しない^[5]。

特別の場合

凧形は傍接四角形である。平行四辺形は、次項に挙げる特徴づけを満たすため半径無限大の傍接円を持つ傍接四角形とみなせるが、その傍接円は平行な2辺に接することができない^[5]。辺長が等差数列を成す凸四角形は、下記の隣接辺に関する特徴づけを満たし、傍接四角形となる。

特徴づけ

凸四角形が円に傍接することと、6つの角の二等分線が共点であることは同値である。この角の二等分線は、2つは対頂点の内角、2つは対頂点の外角、残りの2つは延長辺の交点の外角の二等分線となる^[5]。

長さが $a, b, c, d$ の順で隣接する辺を持つ凸四角形が円に傍接することと、隣接する2辺と他の2辺のそれぞれの和が等しいことは同値である。式で書くと次のようになる。

$a+b=c+d\quad {\text{or}}\quad a+d=b+c$

この表で使用された表記は以下の通り。

$P$ は、対角線の交点。
$R 1, R 2, R 3, R 4$ は、 $△ ABP, △ BCP, △ CDP, △ DAP$ の外半径。
$h 1, h 2, h 3, h 4$ は、 $a = | AB |, b = | BC |, c = | CD |, d = | DA |$ に対する $P$ の高さ。
$e, f, g, h$ は、 $A, B, C, D$ と $P$ の距離。
$x, y, z, w$ は、それぞれ $∠ ABD, ∠ ADB, ∠ BDC, ∠ DBC$ 。
$R a, R b, R c, R d$ は、それぞれ辺 $a, b, c, d$ と隣接する2辺の延長辺の成す三角形の内接円の半径。

面積

辺長が $a, b, c, d$ である傍接四角形 $ABCD$ の面積は次の式で表される。

$K={\sqrt {abcd}}\sin {\frac {B+D}{2}}.$

傍接四角形が外接円を持っている場合、それを特にex-bicentric quadrilateralと呼ぶ^[3]。対角が補角となることから、その面積は、

$\displaystyle K={\sqrt {abcd}}$

と表される。これは双心四角形の面積公式と同じ形である。

$x$ を外心と傍心の距離として、次の式が成立する。

${\frac {1}{(R-x)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}$

ただし、 $R, r$ はそれぞれ外半径と傍半径。これはフースの定理に対応する。ただし、 $x$ を求めるときは、双心四角形の外心と傍心の距離とは異なる二次方程式の解を選ばなければならない。したがって、 $x$ は次のようになる^[3]。

$x={\sqrt {R^{2}+r^{2}+r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}}$

この式から次の不等式が成立する。

$\displaystyle x>R+r$

つまり、外接円と傍接円は平面上に交点を持たない。

出典

[脚注の使い方]

^ Bogomolny, Alexander. “Inscriptible and Exscriptible Quadrilaterals”. Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles. 2011年8月18日閲覧。
^ 村田, 翔吾「数学的探究における定義活動の方法に関する研究」『日本数学教育学会誌』第101巻R114、2020年、19–38頁、doi:10.32296/jjsme.101.R114_19。
^ ^a ^b ^c Radic, Mirko; Kaliman, Zoran; Kadum, Vladimir (2007). “A condition that a tangential quadrilateral is also a chordal one”. Mathematical Communications 12: 33–52.
^ K. S. Kedlaya (2006), Geometry Unbound
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Josefsson, Martin (2012). “Similar Metric Characterizations of Tangential and Extangential Quadrilaterals”. Forum Geometricorum 12: 63-77.
^ F. G.-M. (1991). Exercices de Géométrie (6 ed.). Éditions Jacques Gabay. p. 318
^ ^a ^b Hajja, Mowaffaq (2006). “A Very Short and Simple Proof of “The Most Elementary Theorem” of Euclidean Geometry”. Forum Geometricorum 6: 167–169.
^ Oguzhan, Demirel; Soyturk Seyrantepe, Emine (2011). “THE THEOREMS OF URQUHART AND STEINER-LEHMUS IN THE POINCARE BALL MODEL OF HYPERBOLIC GEOMETRY”. MATEMATIQKI VESNIK.

外部リンク

Weisstein, Eric W. “Urquhart's Theorem”. mathworld.wolfram.com (英語).
Alexander Bogomolny. “Urquhart's Theorem”. Cut the knot. 2024年11月19日閲覧。

[1] Bogomolny, Alexander. “Inscriptible and Exscriptible Quadrilaterals”. Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles. 2011年8月18日閲覧。

[2] 村田, 翔吾「数学的探究における定義活動の方法に関する研究」『日本数学教育学会誌』第101巻R114、2020年、19–38頁、doi:10.32296/jjsme.101.R114_19。

[:0-3] Radic, Mirko; Kaliman, Zoran; Kadum, Vladimir (2007). “A condition that a tangential quadrilateral is also a chordal one”. Mathematical Communications 12: 33–52.

[4] K. S. Kedlaya (2006), Geometry Unbound

[:1-5] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Josefsson, Martin (2012). “Similar Metric Characterizations of Tangential and Extangential Quadrilaterals”. Forum Geometricorum 12: 63-77.

[6] F. G.-M. (1991). Exercices de Géométrie (6 ed.). Éditions Jacques Gabay. p. 318

[:2-7] Hajja, Mowaffaq (2006). “A Very Short and Simple Proof of “The Most Elementary Theorem” of Euclidean Geometry”. Forum Geometricorum 6: 167–169.

[8] Oguzhan, Demirel; Soyturk Seyrantepe, Emine (2011). “THE THEOREMS OF URQUHART AND STEINER-LEHMUS IN THE POINCARE BALL MODEL OF HYPERBOLIC GEOMETRY”. MATEMATIQKI VESNIK.

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