位相空間論における定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/31 01:47 UTC 版)
「最大値最小値定理」の記事における「位相空間論における定式化」の解説
実数直線を任意の位相空間へ取り換えるとき、有界閉区間に対応するものはコンパクト空間である。位相空間論において、連続写像がコンパクト性を保つこと、および実数直線の部分集合がコンパクトであるための必要十分条件がそれが有界閉区間となることであることは既知である。従って以下のような極値定理の一般化 定理 空でないコンパクト空間上で定義された実数値連続函数は上に有界であり、その上限を達成する。 が導かれる。もう少し一般に、このことは上半連続函数に対して成立する
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