古典バナッハ空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/06/15 16:05 UTC 版)
「バナッハ空間の一覧」の記事における「古典バナッハ空間」の解説
Diestel (1984, Chapter VII) によると、古典バナッハ空間（classical Banach spaces）は Dunford & Schwartz (1958) によって定義されたもので、それらを以下の表に示す。 以下の表で、K は実または複素数体を表し、I は有界閉区間 [a, b] を表す。p は 1 < p < ∞ を満たす実数で、q はそのヘルダー共役（これも 1 < q < ∞ を満たす）を表す。すなわち 1 q + 1 p = 1 ( ⟺ q = p p − 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p}}=1\quad (\iff q={\frac {p}{p-1}})} である。記号 Σ は σ-集合代数を表し、Ξ は（ba空間のような有限加法性のみが要求される空間に対する）ある集合代数を表す。また記号 μ は正測度、すなわち、適当な σ-集合代数上で定義される可算加法的な正の実数値集合函数とする。 古典バナッハ空間双対回帰性弱完備ノルム注釈KnKn Yes Yes ∥ x ∥ 2 = ( ∑ i = 1 n | x i | 2 ) 1 / 2 {\displaystyle \|x\|_{2}={\bigg (}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}{\bigg )}^{1/2}} ℓ np ℓ nq Yes Yes ∥ x ∥ p = ( ∑ i = 1 n | x i | p ) 1 / p {\displaystyle \|x\|_{p}={\bigg (}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}{\bigg )}^{1/p}} ℓ n∞ ℓ n1 Yes Yes ∥ x ∥ ∞ = max 1 ≤ i ≤ n | x i | {\displaystyle \|x\|_{\infty }=\max _{1\leq i\leq n}|x_{i}|} ℓpℓq Yes Yes ∥ x ∥ p = ( ∑ i = 1 ∞ | x i | p ) 1 / p {\displaystyle \|x\|_{p}={\bigg (}\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|^{p}{\bigg )}^{1/p}} 1 < p < ∞ ℓ1ℓ∞ No Yes ∥ x ∥ 1 = ∑ i = 1 ∞ | x i | {\displaystyle \|x\|_{1}=\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|} ℓ∞ba No No ∥ x ∥ ∞ = sup i | x i | {\displaystyle \|x\|_{\infty }=\sup _{i}|x_{i}|} cℓ1 No No c0No No c と同型であるが等長ではない。 bvℓ1+K No Yes ∥ x ∥ b v = | x 1 | + ∑ i = 1 ∞ | x i + 1 − x i | {\displaystyle \|x\|_{bv}=|x_{1}|+\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i+1}-x_{i}|} bv0ℓ1 No Yes ∥ x ∥ b v 0 = ∑ i = 1 ∞ | x i + 1 − x i | {\displaystyle \|x\|_{bv_{0}}=\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i+1}-x_{i}|} bsba No No ∥ x ∥ b s = sup n | ∑ i = 1 n x i | {\displaystyle \|x\|_{bs}=\sup _{n}\left|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right|} ℓ∞ と等長同型。 csℓ1 No No c と等長同型。 B(X,Ξ)ba(Ξ) No No ∥ f ∥ B = sup x ∈ X | f ( x ) | {\displaystyle \|f\|_{B}=\sup _{x\in X}|f(x)|} C(X)rca(X) No No X はコンパクトハウスドルフ空間。 ba(Ξ) ? No Yes ∥ μ ∥ b a = sup A ∈ Σ | μ | ( A ) {\displaystyle \|\mu \|_{ba}=\sup _{A\in \Sigma }|\mu |(A)} 測度の変動（英語版） ca(Σ) ? No Yes rca(Σ) ? No Yes Lp(μ)Lq(μ) Yes Yes ∥ f ∥ p = ( ∫ | f | p d μ ) 1 / p {\displaystyle \|f\|_{p}={\bigg (}\int |f|^{p}\,d\mu {\bigg )}^{1/p}} 1 < p < ∞ L1(μ)L∞(μ) No ? ∥ f ∥ 1 = ∫ | f | d μ {\displaystyle \|f\|_{1}=\int |f|\,d\mu } 測度 μ が S 上で σ-有限である場合。 L∞(μ)N ⊥μ No ? ∥ f ∥ ∞ ≡ inf { C ≥ 0 : | f ( x ) | ≤ C , a.e. x } {\displaystyle \|f\|_{\infty }\equiv \inf\{C\geq 0:|f(x)|\leq C,{\text{a.e. }}x\}} N⊥μ = {σ ∈ ba(Σ) | λ ≪ μ} BV(I) ? No Yes ∥ f ∥ B V = lim x → a + f ( x ) + V f ( I ) {\displaystyle \|f\|_{BV}=\lim _{x\to a^{+}}f(x)+V_{f}(I)} Vf(I) は f の全変動（英語版）。 NBV(I) ? No Yes f ∈ NBV(I) (⊂ BV(I)) ⇔ lim x → a + f ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=0} AC(I)K+L∞(I) No Yes ソボレフ空間 W1,1(I) と同型。 Cn(I)rca(I) No No ∥ f ∥ = ∑ i = 0 n sup x ∈ [ a , b ] | f ( i ) ( x ) | {\displaystyle \|f\|=\sum _{i=0}^{n}\sup _{x\in [a,b]}|f^{(i)}(x)|} 特にテイラーの定理により Rn ⊕ C(I) と同型。
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